(1) $(2x+3y)(3x-2y) - (2x-3y)(3x+2y)$ を展開し、整理する。 (2) $15a^2 - 11a - 14$ を因数分解する。 (3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を簡単にする。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \leq \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$ を解く。 (5) 方程式 $|2-5x|=1$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $(2x+3y)(3x-2y) - (2x-3y)(3x+2y)$ を展開し、整理する。

(2) $15a^2 - 11a - 14$ を因数分解する。

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を簡単にする。

(4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \leq \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$ を解く。

(5) 方程式 $|2-5x|=1$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3y)(3x-2y) - (2x-3y)(3x+2y)$ を展開する。

$(6x^2 + 5xy - 6y^2) - (6x^2 - 5xy - 6y^2) = 6x^2 + 5xy - 6y^2 - 6x^2 + 5xy + 6y^2 = 10xy$

(2) $15a^2 - 11a - 14$ を因数分解する。

$15a^2 - 11a - 14 = (3a+2)(5a-7)$

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を簡単にする。

$(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{2})(3-2\sqrt{3}+1)+ (\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2})(3+2\sqrt{3}+1) = \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(4-2\sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(4+2\sqrt{3}) = 2\sqrt{2}[(\sqrt{3}+1)(2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1)(2+\sqrt{3})] = 2\sqrt{2}[(2\sqrt{3}-3+2-\sqrt{3})+(2\sqrt{3}+3-2-\sqrt{3})] = 2\sqrt{2}[(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)] = 2\sqrt{2}(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{6}$

(4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \leq \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$ を解く。

第1の不等式: $\frac{x}{3} + 1 \leq \frac{x}{6} + 2 \implies 2x + 6 \leq x + 12 \implies x \leq 6$

第2の不等式: $\frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2} < 1 \implies \frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2}$ and $\frac{x+1}{2} < 1$.

$\frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2} \implies 2(x-1) < 3(x+1) \implies 2x - 2 < 3x + 3 \implies -5 < x$

$\frac{x+1}{2} < 1 \implies x+1 < 2 \implies x < 1$.

したがって、$-5 < x < 1$.

したがって、$-5 < x \leq 6$ と $x<1$ と $x>-5$.　したがって、$-5 < x \leq 6$と$x < 1$の共通範囲は $-5 < x < 1$.

したがって $-5<x<1$ と $x \leq 6$ の共通範囲は $-5 < x < 1$.

(5) 方程式 $|2-5x|=1$ を解く。

$2-5x = 1$ or $2-5x = -1$.

$2-5x = 1 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}$.

$2-5x = -1 \implies 5x = 3 \implies x = \frac{3}{5}$.

3. 最終的な答え

(1) $10xy$

(2) $(3a+2)(5a-7)$

(3) $4\sqrt{6}$

(4) $-5 < x < 1$

(5) $x = \frac{1}{5}, \frac{3}{5}$