x, y は実数とする。以下の条件について、それぞれが「必要条件であるが十分条件でない」、「十分条件であるが必要条件でない」、「必要十分条件である」のうち、どれに当てはまるかを判断する。 (1) $x=y=2$ は $2x-y=2y-x=2$ であるための条件 (2) $x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件 (3) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための条件 (4) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための条件

1. 問題の内容

x, y は実数とする。以下の条件について、それぞれが「必要条件であるが十分条件でない」、「十分条件であるが必要条件でない」、「必要十分条件である」のうち、どれに当てはまるかを判断する。

(1) $x=y=2$ は $2x-y=2y-x=2$ であるための条件

(2) $x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件

(3) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための条件

(4) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための条件

2. 解き方の手順

(1) $x=y=2$ のとき、$2x-y = 2 \times 2 - 2 = 2$ および $2y-x = 2 \times 2 - 2 = 2$ が成立する。つまり、$x=y=2$ ならば $2x-y=2y-x=2$。

逆に、$2x-y=2y-x=2$ とする。このとき、

$2x-y = 2$ および $2y-x = 2$

連立方程式を解くと、

$2x-y=2$ を変形して $y=2x-2$。これを $2y-x=2$ に代入すると、

$2(2x-2) - x = 2$

$4x-4-x=2$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 2x - 2 = 2 \times 2 - 2 = 2$

よって、$x=2, y=2$ である。

したがって、$2x-y=2y-x=2$ ならば $x=y=2$。

必要十分条件である。

(2) $x=2$ のとき、$x^2 - x - 2 = 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$。

つまり、$x=2$ ならば $x^2-x-2=0$。

$x^2 - x - 2 = 0$ を解くと、

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2$ または $x = -1$

したがって、$x^2-x-2=0$ ならば $x=2$ とは限らない ($x=-1$ の場合がある)。

$x=2$ は $x^2-x-2=0$ であるための十分条件である。

(3) $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ は $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ の十分条件である。$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ ならば, 相似比は1で $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ である。

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ の必要条件ではない。例えば、$\triangle ABC$ と $\triangle PQR$ の辺の比が 1:2 であれば、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ だが合同ではない。

したがって, $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための必要条件であるが十分条件ではない。

(4) $|x| = 0$ のとき、$x = 0$ である。

$x = 0$ のとき、$|x| = |0| = 0$ である。

したがって、必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) 必要十分条件

(2) 十分条件であるが必要条件ではない

(3) 必要条件であるが十分条件ではない

(4) 必要十分条件