長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれの針金を折り曲げて2つの正方形を作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切ればよいか。また、その面積の和の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれの針金を折り曲げて2つの正方形を作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切ればよいか。また、その面積の和の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

針金を$x$ cmと$40-x$ cmの2つに切るとする。

それぞれの針金で正方形を作るので、それぞれの正方形の一辺の長さは$\frac{x}{4}$ cmと$\frac{40-x}{4}$ cmとなる。

それぞれの正方形の面積は$(\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$ と $(\frac{40-x}{4})^2 = \frac{(40-x)^2}{16}$となる。

面積の和を$S$とすると、

$S = \frac{x^2}{16} + \frac{(40-x)^2}{16} = \frac{x^2 + (40-x)^2}{16} = \frac{x^2 + 1600 - 80x + x^2}{16} = \frac{2x^2 - 80x + 1600}{16} = \frac{1}{8}x^2 - 5x + 100$

$S$を最小にする$x$を求めるために、平方完成する。

$S = \frac{1}{8}(x^2 - 40x) + 100 = \frac{1}{8}(x^2 - 40x + 400 - 400) + 100 = \frac{1}{8}(x - 20)^2 - \frac{400}{8} + 100 = \frac{1}{8}(x - 20)^2 - 50 + 100 = \frac{1}{8}(x - 20)^2 + 50$

$S$は$x = 20$のとき最小値$50$をとる。

したがって、針金を20cmと20cmに切ればよい。

3. 最終的な答え

針金を20cmと20cmに切ればよい。面積の和の最小値は50 $cm^2$。