$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^3$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ をそれぞれ計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

これらの結果を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)}{2}$

右辺を通分します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \frac{n^2(n+1)^2 - 2n(n+1)}{4}$

$n(n+1)$ でくくります。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \frac{n(n+1)[n(n+1) - 2]}{4}$

括弧内を整理します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \frac{n(n+1)(n^2 + n - 2)}{4}$

$n^2 + n - 2$ を因数分解します。

$n^2 + n - 2 = (n+2)(n-1)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \frac{n(n+1)(n+2)(n-1)}{4}$

さらに整理すると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$