数列 $1, 1+2, 1+2+3, \dots, 1+2+3+\dots+n, \dots$ の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1, 1+2, 1+2+3, \dots, 1+2+3+\dots+n, \dots$ の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、第 $k$ 項 $a_k$ を求める。第 $k$ 項は $1$ から $k$ までの和なので、

$a_k = 1 + 2 + 3 + \dots + k = \sum_{i=1}^{k} i$

等差数列の和の公式より、

$a_k = \frac{k(k+1)}{2}$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

よって、

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} \right)$

$S_n = \frac{1}{12} n(n+1) (2n+1+3) = \frac{1}{12} n(n+1)(2n+4) = \frac{2n(n+1)(n+2)}{12}$

$S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

第 $k$ 項: $a_k = \frac{k(k+1)}{2}$

初項から第 $n$ 項までの和: $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$