与えられた式 $4x^4 - 16x^2 + 9$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^4 - 16x^2 + 9$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式は、一見すると二次式のように見えますが、$x^2$ を新たな変数とみなすことで、因数分解を試みることができます。ただし、直接因数分解できる形ではないため、平方完成を利用して因数分解を行います。

まず、$4x^4 + 12x^2 + 9$ を考えます。これは $(2x^2 + 3)^2$ に等しくなります。

$4x^4 - 16x^2 + 9$ を $(2x^2 + 3)^2$ で表すことを考えると、

$4x^4 - 16x^2 + 9 = (2x^2 + 3)^2 - 28x^2$ となります。

これは $(2x^2 + 3)^2 - (2 \sqrt{7} x)^2$ という形になり、平方の差として因数分解できますが、$\sqrt{7}$ が出てきてしまうため、別の方法を試します。

$4x^4 - 16x^2 + 9 = (2x^2)^2 - 2(2x^2)(4) + 4^2 - 4^2 + 9$

$= (2x^2 - 4)^2 - 16 + 9$

$= (2x^2 - 4)^2 - 7$

ここでもうまくいきません。

そこで、$4x^4 - 16x^2 + 9$ を $(2x^2 + 3)^2$ に近づけることを考えます。

$(2x^2 + 3)^2 = 4x^4 + 12x^2 + 9$ なので、

$4x^4 - 16x^2 + 9 = (2x^2 + 3)^2 - 12x^2 - 16x^2 = (2x^2 + 3)^2 - 28x^2$

ここで、$-16x^2$ を $-12x^2 - 4x^2$ と分解し、

$4x^4 - 16x^2 + 9 = 4x^4 - 12x^2 + 9 - 4x^2 = (2x^2 - 3)^2 - (2x)^2$

とします。これは、平方の差の形なので因数分解できます。

$(2x^2 - 3)^2 - (2x)^2 = (2x^2 - 3 + 2x)(2x^2 - 3 - 2x) = (2x^2 + 2x - 3)(2x^2 - 2x - 3)$

3. 最終的な答え

$(2x^2 + 2x - 3)(2x^2 - 2x - 3)$