与えられた6つの式を因数分解する問題です。 (1) $2x^4 - 16xy^3$ (2) $ax - by + bx - ay$ (3) $3a^2 - 2a - 5$ (4) $x^4 - 10x^2 + 9$ (5) $x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3$ (6) $x^2 + 4xy + 3y^2 + 8x + 6y - 9$

はい、承知いたしました。与えられた問題を順番に解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。

(1) $2x^4 - 16xy^3$

(2) $ax - by + bx - ay$

(3) $3a^2 - 2a - 5$

(4) $x^4 - 10x^2 + 9$

(5) $x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3$

(6) $x^2 + 4xy + 3y^2 + 8x + 6y - 9$

2. 解き方の手順

(1) $2x^4 - 16xy^3$

共通因数でくくります。

$2x(x^3 - 8y^3)$

$x^3 - 8y^3$ を因数分解します。これは差の立方公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を使います。

$x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$

したがって、$2x(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$

(2) $ax - by + bx - ay$

項を並び替えます。

$ax + bx - ay - by$

$x(a + b) - y(a + b)$

$(a + b)(x - y)$

(3) $3a^2 - 2a - 5$

たすき掛けを使って因数分解します。

$(3a - 5)(a + 1)$

(4) $x^4 - 10x^2 + 9$

$x^2 = t$ と置きます。

$t^2 - 10t + 9$

$(t - 1)(t - 9)$

$t$ を元に戻します。

$(x^2 - 1)(x^2 - 9)$

$(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)$

(5) $x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3$

$x$ について整理します。

$x^2 + (4 - 3y)x + (2y^2 - 7y + 3)$

$x^2 + (4 - 3y)x + (2y - 1)(y - 3)$

$(x + (2y - 1))(x + (y - 3))$

$(x + 2y - 1)(x + y - 3)$

(6) $x^2 + 4xy + 3y^2 + 8x + 6y - 9$

$(x + y)(x + 3y)$ を利用できるか確認します。

$x^2 + 4xy + 3y^2 = (x + y)(x + 3y)$

$x^2 + 4xy + 3y^2 + 8x + 6y - 9 = (x + y)(x + 3y) + 8x + 6y - 9$

$(x + 3y + a)(x + y + b) = x^2 + 4xy + 3y^2 + (a+b)x + (3b + a)y + ab$ とすると、

$a+b = 8$ かつ $a+3b = 6$。

$2b = -2$ なので $b = -1$, $a = 9$

したがって $ab = -9$ であることがわかる。

$(x + 3y + 9)(x + y - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $2x(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$

(2) $(a + b)(x - y)$

(3) $(3a - 5)(a + 1)$

(4) $(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)$

(5) $(x + 2y - 1)(x + y - 3)$

(6) $(x + 3y + 9)(x + y - 1)$