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与えられた式 $x^4 + 4$ を因数分解します。

代数学因数分解ソフィー・ジェルマンの恒等式多項式
2025/6/3

1. 問題の内容

与えられた式 x4+4x^4 + 4 を因数分解します。

2. 解き方の手順

この問題は、ソフィー・ジェルマンの恒等式を利用して解くことができます。
x4+4x^4 + 4 を以下のように変形します。
まず、4x24x^2 を足して引きます。
x4+4=x4+4x2+4−4x2x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2
これは、
x4+4x2+4−4x2=(x2+2)2−(2x)2x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2
と変形できます。
ここで、a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) の公式を適用します。
したがって、
(x2+2)2−(2x)2=(x2+2+2x)(x2+2−2x)(x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 - 2x)
となります。
最後に、式を整理します。
(x2+2x+2)(x2−2x+2)(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)

3. 最終的な答え

(x2+2x+2)(x2−2x+2)(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)

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