与えられた式 $\sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)}^2$ を簡略化して答えよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)}^2$ を簡略化して答えよ。

2. 解き方の手順

まず、3乗根の中身を展開せずに、全体を2乗することから考えます。

$\sqrt[3]{A}^2 = (\sqrt[3]{A})^2 = (A^{\frac{1}{3}})^2 = A^{\frac{2}{3}}$

したがって、

$\sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)}^2 = (x^3(x+1)^2(x+2))^{\frac{2}{3}}$

次に、指数の性質を使って各項に$\frac{2}{3}$をかけます。

$(x^3)^{\frac{2}{3}} = x^{3 \times \frac{2}{3}} = x^2$

$((x+1)^2)^{\frac{2}{3}} = (x+1)^{2 \times \frac{2}{3}} = (x+1)^{\frac{4}{3}}$

$((x+2))^{\frac{2}{3}} = (x+2)^{\frac{2}{3}}$

したがって、

$(x^3(x+1)^2(x+2))^{\frac{2}{3}} = x^2(x+1)^{\frac{4}{3}}(x+2)^{\frac{2}{3}}$

3. 最終的な答え

$x^2(x+1)^{\frac{4}{3}}(x+2)^{\frac{2}{3}}$