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与えられた5つの行列それぞれの行列式を、余因子展開を用いて計算します。

代数学行列式余因子展開線形代数
2025/6/5
はい、承知いたしました。問題文に示された行列の行列式を余因子展開を使って求めます。

1. 問題の内容

与えられた5つの行列それぞれの行列式を、余因子展開を用いて計算します。

2. 解き方の手順

(1)
∣11−2111−101∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}
第3行で余因子展開します。
(−1)⋅(−1)3+1∣1−211∣+0⋅(−1)3+2∣1−211∣+1⋅(−1)3+3∣1111∣(-1) \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
=(−1)(1⋅1−(−2)⋅1)+0+1(1⋅1−1⋅1)= (-1) (1\cdot1 - (-2)\cdot1) + 0 + 1 (1\cdot1 - 1\cdot1)
=(−1)(1+2)+1(1−1)= (-1) (1 + 2) + 1 (1 - 1)
=(−1)(3)+1(0)= (-1) (3) + 1 (0)
=−3+0=−3= -3 + 0 = -3
(2)
∣1102211−11∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}
第1行で余因子展開します。
1⋅(−1)1+1∣21−11∣+1⋅(−1)1+2∣2111∣+0⋅(−1)1+3∣221−1∣1 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
=1(2⋅1−1⋅(−1))−1(2⋅1−1⋅1)+0= 1 (2\cdot1 - 1\cdot(-1)) - 1 (2\cdot1 - 1\cdot1) + 0
=1(2+1)−1(2−1)= 1 (2 + 1) - 1 (2 - 1)
=1(3)−1(1)= 1 (3) - 1 (1)
=3−1=2= 3 - 1 = 2
(3)
∣011101110∣\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}
第1行で余因子展開します。
0⋅(−1)1+1∣0110∣+1⋅(−1)1+2∣1110∣+1⋅(−1)1+3∣1011∣0 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
=0−1(1⋅0−1⋅1)+1(1⋅1−0⋅1)= 0 - 1 (1\cdot0 - 1\cdot1) + 1 (1\cdot1 - 0\cdot1)
=−1(0−1)+1(1−0)= - 1 (0 - 1) + 1 (1 - 0)
=−1(−1)+1(1)= - 1 (-1) + 1 (1)
=1+1=2= 1 + 1 = 2
(4)
∣103005−1400020−320∣\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 2 & 0 \end{vmatrix}
第1列で余因子展開します。
1⋅(−1)1+1∣5−14002−320∣+0+0+01 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ -3 & 2 & 0 \end{vmatrix} + 0 + 0 + 0
=∣5−14002−320∣= \begin{vmatrix} 5 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ -3 & 2 & 0 \end{vmatrix}
第2行で余因子展開します。
0+0+2⋅(−1)2+3∣5−1−32∣0 + 0 + 2 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}
=2(−1)(5⋅2−(−1)⋅(−3))= 2 (-1) (5\cdot2 - (-1)\cdot(-3))
=−2(10−3)= -2 (10 - 3)
=−2(7)=−14= -2 (7) = -14
(5)
∣1−10−1−11−100−11−1−10−11∣\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}
第1行で余因子展開します。
1⋅(−1)1+1∣1−10−11−10−11∣−1⋅(−1)1+2∣−1−1001−1−1−11∣+0−1⋅(−1)1+4∣−11−10−11−10−1∣1 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} -1 \cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} + 0 -1 \cdot (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}
=∣1−10−11−10−11∣+∣−1−1001−1−1−11∣+∣−11−10−11−10−1∣= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}
∣1−10−11−10−11∣=1(1−1)−(−1)(−1−0)+0=0−1+0=−1\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-1) - (-1)(-1-0) + 0 = 0 - 1 + 0 = -1
∣−1−1001−1−1−11∣=−1(1−1)−(−1)(0−1)+0=0−1+0=−1\begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -1(1-1) - (-1)(0-1) + 0 = 0 -1 + 0 = -1
∣−11−10−11−10−1∣=−1(1−0)−1(0+1)−1(0−1)=−1−1+1=−1\begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1(1-0) - 1(0+1) -1(0-1) = -1 - 1 + 1 = -1
=−1−1−1=−3= -1 - 1 - 1 = -3

3. 最終的な答え

(1) -3
(2) 2
(3) 2
(4) -14
(5) -3

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