SENSEI AI
About App

与えられた5つの行列それぞれについて、行列式を余因子展開を用いて計算します。

代数学行列式余因子展開線形代数
2025/6/5
はい、承知いたしました。余因子展開を使って行列式を求める問題ですね。

1. 問題の内容

与えられた5つの行列それぞれについて、行列式を余因子展開を用いて計算します。

2. 解き方の手順

各行列について、余因子展開を行い、行列式を求めます。
(1)
行列 A1=(11−2111−101)A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} の行列式を計算します。
第3行で余因子展開します。
det⁡(A1)=(−1)(−1)3+1∣1−211∣+0(−1)3+2∣1−211∣+1(−1)3+3∣1111∣\det(A_1) = (-1)(-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
=−1(1⋅1−(−2)⋅1)+0+1(1⋅1−1⋅1)= -1 (1\cdot1 - (-2)\cdot1) + 0 + 1 (1\cdot1 - 1\cdot1)
=−1(1+2)+1(1−1)= -1 (1 + 2) + 1 (1 - 1)
=−3+0=−3= -3 + 0 = -3
(2)
行列 A2=(1102211−11)A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} の行列式を計算します。
第1行で余因子展開します。
det⁡(A2)=1(−1)1+1∣21−11∣+1(−1)1+2∣2111∣+0(−1)1+3∣221−1∣\det(A_2) = 1(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
=1(2⋅1−1⋅(−1))−1(2⋅1−1⋅1)+0= 1 (2\cdot1 - 1\cdot(-1)) - 1 (2\cdot1 - 1\cdot1) + 0
=(2+1)−(2−1)= (2+1) - (2-1)
=3−1=2= 3 - 1 = 2
(3)
行列 A3=(011101110)A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} の行列式を計算します。
第1行で余因子展開します。
det⁡(A3)=0(−1)1+1∣0110∣+1(−1)1+2∣1110∣+1(−1)1+3∣1011∣\det(A_3) = 0(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
=0−1(1⋅0−1⋅1)+1(1⋅1−0⋅1)= 0 - 1 (1\cdot0 - 1\cdot1) + 1 (1\cdot1 - 0\cdot1)
=−1(−1)+1(1)=1+1=2= -1(-1) + 1(1) = 1 + 1 = 2
(4)
行列 A4=(103005−1400020−320)A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 2 & 0 \end{pmatrix} の行列式を計算します。
第1列で余因子展開します。
det⁡(A4)=1(−1)1+1∣5−14002−320∣\det(A_4) = 1(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ -3 & 2 & 0 \end{vmatrix}
次に、得られた3x3行列の第2行で余因子展開します。
det⁡(A4)=1⋅(0(−1)2+1∣−1420∣+0(−1)2+2∣54−30∣+2(−1)2+3∣5−1−32∣)\det(A_4) = 1 \cdot \left( 0(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 0(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} + 2(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} \right)
=1⋅(0+0+2(−1)(5⋅2−(−1)⋅(−3)))= 1 \cdot \left( 0 + 0 + 2(-1) (5\cdot2 - (-1)\cdot(-3)) \right)
=−2(10−3)=−2(7)=−14= -2 (10 - 3) = -2(7) = -14
(5)
行列 A5=(1−10−1−11−100−11−1−10−11)A_5 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} の行列式を計算します。
第1行で余因子展開します。
det⁡(A5)=1(−1)1+1∣1−10−11−10−11∣+(−1)(−1)1+2∣−1−1001−1−1−11∣+0+(−1)(−1)1+4∣−11−10−11−10−1∣\det(A_5) = 1(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} + 0 + (-1)(-1)^{1+4} \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}
=∣1−10−11−10−11∣+∣−1−1001−1−1−11∣+∣−11−10−11−10−1∣= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}
それぞれの3x3行列式を計算します。
∣1−10−11−10−11∣=1(1−1)−(−1)(−1−0)+0=0−1+0=−1\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-1) - (-1)(-1-0) + 0 = 0 - 1 + 0 = -1
∣−1−1001−1−1−11∣=−1(1−1)−(−1)(0−1)+0=0−1+0=−1\begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -1(1-1) - (-1)(0-1) + 0 = 0 - 1 + 0 = -1
∣−11−10−11−10−1∣=−1(1−0)−1(0+1)−1(0−1)=−1−1+1=−1\begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1(1-0) - 1(0+1) -1(0-1) = -1 - 1 + 1 = -1
det⁡(A5)=−1−1−1=−3\det(A_5) = -1 - 1 - 1 = -3

3. 最終的な答え

(1) -3
(2) 2
(3) 2
(4) -14
(5) -3

「代数学」の関連問題

与えられた4つの方程式を解く問題です。 (1) $x^3 = 1$ (2) $x^4 - 4x^2 + 3 = 0$ (3) $x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$ (4) $2x^4 - ...

方程式解の公式因数分解複素数
2025/6/6

次の方程式を解きます。 (1) $z^3 = 27$ (2) $z^6 = -1$ (3) $z^3 = -8i$ (4) $z^4 = -32(1 + \sqrt{3}i)$

複素数複素平面n乗根
2025/6/6

方程式 $x^2 + y^2 + ax - (a+3)y + \frac{5}{2}a^2 = 0$ が円を表すとき、以下の問いに答える。 (1) 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) この円の...

円二次方程式二次関数最大値標準形
2025/6/6

$x+y=9$ と $x-y=-5$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めよ。

因数分解連立方程式式の計算
2025/6/6

$a$ を正の数とする。2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が $p - q = 1$ を満たす実数解 $p$ と $q$ をもつとき、$a$ と $p$ の値を求めよ。

二次方程式解と係数の関係実数解
2025/6/6

与えられた二次方程式 $4x^2 - 8x - 3 = 0$ の解を、解の公式を用いて求める問題です。解は $x = \frac{ア \pm \sqrt{イ}}{ウ}$ の形で表されます。ア、イ、ウに...

二次方程式解の公式平方根の計算
2025/6/6

$x + y = -5$ かつ $xy = 2$ のとき、$(x - 2)(y - 2)$ の値を求めよ。

式の展開連立方程式式の値
2025/6/6

与えられた数式の値を計算します。数式は $n(n+1)\{\frac{1}{6}(2n+1)-3\}$ です。

数式計算多項式展開
2025/6/6

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k)$ を計算する問題です。

数列シグマ公式計算
2025/6/6

例題2として、数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 2k(k-2)$ を求める問題です。

数列総和シグマ等差数列等比数列
2025/6/6