## 因数分解の問題

## 因数分解の問題

写真に写っている各式を因数分解します。

## 解き方の手順

各問題に対して、以下の手順で因数分解を行います。

1. 共通因数でくくれる場合はくくり出す。

2. 公式（二乗の差、和または差の二乗など）を利用できるか検討する。

3. 複数の文字がある場合は、ある文字に着目して整理する。

以下に各問題の解き方と答えを示します。

**(1) $ax^3 - a^3x$**

* **手順:**

1. 共通因数 $ax$ でくくり出す。

$ax^3 - a^3x = ax(x^2 - a^2)$

2. $(x^2 - a^2)$ は二乗の差の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用できる。

$ax(x^2 - a^2) = ax(x+a)(x-a)$

* **答え:** $ax(x+a)(x-a)$

**(2) $x^4y^2 + xy^5$**

* **手順:**

1. 共通因数 $xy^2$ でくくり出す。

$x^4y^2 + xy^5 = xy^2(x^3 + y^3)$

2. $(x^3 + y^3)$ は和の三乗の公式 $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$ を利用できる。

$xy^2(x^3 + y^3) = xy^2(x+y)(x^2 - xy + y^2)$

* **答え:** $xy^2(x+y)(x^2 - xy + y^2)$

**(3) $a^3b+ab^3+ab+2a^2b^2+2ab^2+2a^2b$**

* **手順:**

1. $a$ と $b$ の次数が低い $ab$ でくくることを目指して整理する。

$a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a^2b+2ab^2+ab = a^3b+2a^2b^2+2a^2b+ab^3+2ab^2+ab$

2. $ab$ でくくり出す。

$ab(a^2 + 2ab + 2a + b^2 + 2b + 1)$

3. $(a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b + 1) = (a+b)^2 + 2(a+b) + 1 = (a+b+1)^2$

4. $ab(a^2 + 2ab + 2a + b^2 + 2b + 1) = ab(a+b+1)^2$

* **答え:** $ab(a+b+1)^2$

**(4) $x - y + xy - 1$**

* **手順:**

1. $x$ を含む項と含まない項に分ける。

$x + xy - y - 1 = x(1+y) - (y+1)$

2. 共通因数 $(1+y)$ でくくり出す。

$x(1+y) - (y+1) = (1+y)(x-1)$

* **答え:** $(x-1)(y+1)$

**(5) $a + b^3 + ab^3 + 1$**

* **手順:**

1. $b^3$ を含む項と含まない項に分ける。

$a + 1 + b^3 + ab^3 = (a+1) + b^3(1+a)$

2. 共通因数 $(a+1)$ でくくり出す。

$(a+1) + b^3(1+a) = (a+1)(1+b^3)$

3. $(1+b^3)$ は和の三乗の公式を利用できる。

$(a+1)(1+b^3) = (a+1)(1+b)(1-b+b^2)$

* **答え:** $(a+1)(b+1)(b^2-b+1)$

**(6) $a^2b^2 + 1 - b^2 - a^2$**

* **手順:**

1. 項の順序を入れ替える。

$a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1$

2. $a^2$ を含む項と含まない項に分ける。

$a^2(b^2 - 1) - (b^2 - 1)$

3. 共通因数 $(b^2-1)$ でくくり出す。

$(b^2 - 1)(a^2 - 1)$

4. それぞれの括弧は二乗の差の公式を利用できる。

$(b^2-1)(a^2 - 1) = (b+1)(b-1)(a+1)(a-1)$

* **答え:** $(a-1)(a+1)(b-1)(b+1)$

**(7) $4x^2 - 12xy + 9y^2$**

* **手順:**

1. $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ の形になっているか確認する。

$4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3y) + (3y)^2$

2. $(2x-3y)^2$ の形に因数分解できる。

* **答え:** $(2x-3y)^2$

**(8) $27x^2 - 12$**

* **手順:**

1. 共通因数 3 でくくり出す。

$27x^2 - 12 = 3(9x^2 - 4)$

2. $(9x^2-4)$ は二乗の差の公式を利用できる。

$3(9x^2 - 4) = 3((3x)^2 - 2^2) = 3(3x+2)(3x-2)$

* **答え:** $3(3x-2)(3x+2)$

**(9) $54x^3 - 16$**

* **手順:**

1. 共通因数2でくくり出す。

$54x^3 - 16 = 2(27x^3 - 8)$

2. $(27x^3 - 8)$ は差の三乗の公式を利用できる。

$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$

$2(27x^3 - 8) = 2((3x)^3 - 2^3) = 2(3x-2)(9x^2 + 6x + 4)$

* **答え:** $2(3x-2)(9x^2 + 6x + 4)$

**(10) $9x^4-16x^2y^2$**

* **手順:**

1. 共通因数$x^2$でくくり出す。

$9x^4-16x^2y^2 = x^2(9x^2 - 16y^2)$

2. $(9x^2 - 16y^2)$ は二乗の差の公式を利用できる。

$x^2(9x^2 - 16y^2) = x^2((3x)^2 - (4y)^2) = x^2(3x-4y)(3x+4y)$

* **答え:** $x^2(3x-4y)(3x+4y)$

**(11) $25a^4b^2+10a^3b^3 + a^2b^4$**

* **手順:**

1. 共通因数$a^2b^2$でくくり出す。

$25a^4b^2+10a^3b^3 + a^2b^4 = a^2b^2(25a^2 + 10ab + b^2)$

2. $(25a^2 + 10ab + b^2)$ は $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$の形になっている。

$a^2b^2(25a^2 + 10ab + b^2) = a^2b^2((5a)^2 + 2(5a)b + b^2) = a^2b^2(5a+b)^2$

* **答え:** $a^2b^2(5a+b)^2$

**(12) $a^4b+3a^3b^2+3a^2b^3 + ab^4$**

* **手順:**

1. 共通因数$ab$でくくり出す。

$a^4b+3a^3b^2+3a^2b^3 + ab^4 = ab(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)$

2. $(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)$ は $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$の形になっている。

$ab(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) = ab(a+b)^3$

* **答え:** $ab(a+b)^3$

## 最終的な答え

上記に各問題の最終的な答えを示しました。