正則行列 $A$ の列ベクトルにゼロベクトルが存在しないことを証明し、行ベクトルについても同様かどうかを考察します。

1. 問題の内容

正則行列 $A$ の列ベクトルにゼロベクトルが存在しないことを証明し、行ベクトルについても同様かどうかを考察します。

2. 解き方の手順

(1) 列ベクトルについて

$A$ を $n \times n$ の正則行列とします。もし $A$ の列ベクトルの中にゼロベクトルが存在すると仮定すると、$A$ の列ベクトルは線形独立ではなくなります。なぜなら、ゼロベクトルは任意のベクトルの線形結合で表現できるからです。

例えば、$A = [\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_i, ..., \mathbf{a}_n]$ と表し、$i$ 番目の列ベクトル $\mathbf{a}_i$ がゼロベクトル、つまり $\mathbf{a}_i = \mathbf{0}$ であるとします。

このとき、$A$ の列ベクトル $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n$ に対して、

$c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 + ... + c_i\mathbf{a}_i + ... + c_n\mathbf{a}_n = \mathbf{0}$

という線形結合を考えます。ここで、$c_i$ は任意の定数とします。

$\mathbf{a}_i = \mathbf{0}$ であるから、

$c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 + ... + c_i \mathbf{0} + ... + c_n\mathbf{a}_n = \mathbf{0}$

$c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 + ... + \mathbf{0} + ... + c_n\mathbf{a}_n = \mathbf{0}$

$c_1 = c_2 = ... = c_{i-1} = c_{i+1} = ... = c_n = 0$ であっても、$c_i$ が 0 でない値、例えば $c_i = 1$ であっても、線形結合の結果はゼロベクトルになります。

これは、列ベクトル $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n$ が線形独立でないことを意味します。

行列 $A$ が正則であるということは、$A$ の列ベクトルが線形独立であることと同値です。したがって、$A$ の列ベクトルにゼロベクトルが存在するという仮定は、 $A$ が正則であるという条件に矛盾します。

よって、$A$ の列ベクトルにゼロベクトルは存在しません。

(2) 行ベクトルについて

$A$ が正則行列であるとき、その転置行列 $A^T$ も正則行列です。$A^T$ の列ベクトルは、$A$ の行ベクトルに対応します。上記と同様の議論を $A^T$ に適用することで、$A^T$ の列ベクトル（つまり、$A$ の行ベクトル）にゼロベクトルは存在しないことがわかります。

3. 最終的な答え

正則行列 $A$ の列ベクトルおよび行ベクトルにゼロベクトルは存在しません。