$k$を実数とする。2次方程式 $x^2+kx-1=0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とする。2次方程式 $x^2-(k+4)x+1=0$ が2つの解$\alpha^2$と$\beta^2$をもつとき、$k$の値を全て求める。

1. 問題の内容

$k$を実数とする。2次方程式 $x^2+kx-1=0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とする。2次方程式 $x^2-(k+4)x+1=0$ が2つの解$\alpha^2$と$\beta^2$をもつとき、$k$の値を全て求める。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、以下の式が成り立つ。

$\alpha + \beta = -k$

$\alpha \beta = -1$

次に、$\alpha^2$と$\beta^2$を解に持つ2次方程式 $x^2-(k+4)x+1=0$ においても、解と係数の関係から以下の式が成り立つ。

$\alpha^2 + \beta^2 = k+4$

$\alpha^2 \beta^2 = 1$

ここで、$(\alpha \beta)^2 = \alpha^2 \beta^2$ であるから、$(-1)^2 = 1$ となり、これは既にわかっていることなので、$\alpha^2 \beta^2=1$ の式は不要である。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ であることを利用する。

$\alpha^2 + \beta^2 = (-k)^2 - 2(-1) = k^2 + 2$

したがって、

$k^2 + 2 = k+4$

$k^2 - k - 2 = 0$

$(k-2)(k+1) = 0$

$k=2, -1$

3. 最終的な答え

$k = 2, -1$