整式 $A(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りが $4x+5$ であるとき、以下の問題を解きます。 (1) $A(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めます。 (2) $x^2 A(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めます。

1. 問題の内容

整式 $A(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りが $4x+5$ であるとき、以下の問題を解きます。

(1) $A(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めます。

(2) $x^2 A(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 剰余の定理より、$A(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りは $A(2)$ で与えられます。

$A(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りが $4x+5$ であることから、$A(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + 4x+5$ （$Q(x)$ はある整式）と表せます。

したがって、$A(2) = (2-2)(2-3)Q(2) + 4(2)+5 = 0 + 8+5 = 13$ となります。

(2) $x^2 A(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおくと、ある整式 $Q'(x)$ を用いて

$x^2 A(x) = (x-2)(x-3)Q'(x) + ax+b$ と表せます。

$x=2$ のとき、

$2^2 A(2) = (2-2)(2-3)Q'(2) + 2a+b$

$4 A(2) = 2a+b$

$A(2) = 13$ より $4 \times 13 = 2a+b$, つまり $2a+b=52$

$x=3$ のとき、

$3^2 A(3) = (3-2)(3-3)Q'(3) + 3a+b$

$9 A(3) = 3a+b$

$A(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + 4x+5$ より、$A(3) = (3-2)(3-3)Q(3) + 4(3)+5 = 0+12+5=17$

よって $9 \times 17 = 3a+b$, つまり $3a+b = 153$

$3a+b = 153$

$2a+b = 52$

上の式から下の式を引くと $a=101$

$2(101)+b=52$ より $b=52-202=-150$

したがって、$ax+b = 101x - 150$

3. 最終的な答え

(1) $13$

(2) $101x - 150$