問題1は等差数列 $\{a_n\}$ に関するもので、 (1) $a_2 = 8$, $a_4 = 2$ を満たす数列の初項と公差を求める。 (2) この数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が最大となる $n$ を求める。 問題2は、分数で表された数列の和を計算する問題です。 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{10 \cdot 11}$ を計算する。

1. 問題の内容

問題1は等差数列 $\{a_n\}$ に関するもので、

(1) $a_2 = 8$, $a_4 = 2$ を満たす数列の初項と公差を求める。

(2) この数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が最大となる $n$ を求める。

問題2は、分数で表された数列の和を計算する問題です。

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{10 \cdot 11}$

を計算する。

2. 解き方の手順

問題1

(1) 等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで $a_1$ は初項、$d$ は公差である。

$a_2 = a_1 + d = 8$

$a_4 = a_1 + 3d = 2$

この連立方程式を解く。

2つの式を引き算すると $2d = -6$ なので、$d = -3$

$a_1 + (-3) = 8$ より、$a_1 = 11$

(2) 和 $S_n$ が最大となるのは、 $a_n \geq 0$ かつ $a_{n+1} < 0$ となる $n$ である。

$a_n = 11 + (n-1)(-3) = 11 - 3n + 3 = 14 - 3n$

$14 - 3n \geq 0$ を満たす最大の整数 $n$ を求める。

$3n \leq 14$

$n \leq \frac{14}{3} = 4.666\dots$

よって、$n = 4$

問題2

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

という関係を利用する。

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{10 \cdot 11} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11})$

$= 1 - \frac{1}{11} = \frac{11}{11} - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) 初項: 11, 公差: -3

(2) $n=4$

問題2

$\frac{10}{11}$