$0 \le x \le 1$、$0 \le y \le 1$ の範囲で $x, y$ が動くとき、関数 $f(x, y) = x^2 + xy + x - y + 4$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x, y)$ を $y$ について整理して $f(x, y) = ay + b$ と表すときの $a$ と $b$ を求める。選択肢から選ぶ。 (2) $f(x, y)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 1$、$0 \le y \le 1$ の範囲で $x, y$ が動くとき、関数 $f(x, y) = x^2 + xy + x - y + 4$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x, y)$ を $y$ について整理して $f(x, y) = ay + b$ と表すときの $a$ と $b$ を求める。選択肢から選ぶ。

(2) $f(x, y)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = x^2 + xy + x - y + 4$ を $y$ について整理する。

$f(x, y) = (x - 1)y + (x^2 + x + 4)$

したがって、$a = x - 1$、$b = x^2 + x + 4$ となる。

選択肢より、$a = x-1$ は選択肢②、$b = x^2 + x + 4$ は選択肢③である。

(2) $f(x, y) = (x - 1)y + x^2 + x + 4$ において、$0 \le y \le 1$ であるから、

$x - 1 < 0$ より、$y = 1$ のとき最小、$y = 0$ のとき最大となる。

$y = 1$ のとき、$f(x, 1) = (x - 1)(1) + x^2 + x + 4 = x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$

$0 \le x \le 1$ より、$x = 0$ のとき最小値 3、$x = 1$ のとき最大値 6。

$y = 0$ のとき、$f(x, 0) = x^2 + x + 4 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$

$0 \le x \le 1$ より、$x = 0$ のとき 4、$x = 1$ のとき 6。

$x = 1$ かつ $y = 0$ で $f(x, y)$ は最大値 6 をとる。

$x = 0$ のとき、 $f(0, y) = -y + 4$ より、$y = 1$ のとき最小値 3をとる。

$f(x, y)$ の最小値は $x=0$ かつ $y=1$ のとき、3である。

$x = 1$ のとき、$f(1, y) = (1-1)y + 1 + 1 + 4 = 6$

$f(x, y)$ の最大値は $f(1,0) = 6$ である。

3. 最終的な答え

a = x - 1 （選択肢②）

b = x^2 + x + 4 （選択肢③）

最大値：6

最小値：3