行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ による変換によって直線 $L$ が直線 $x + 2y - 6 = 0$ に移されたとき、変換前の直線 $L$ の方程式を求めます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ による変換によって直線 $L$ が直線 $x + 2y - 6 = 0$ に移されたとき、変換前の直線 $L$ の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

変換前の点を $(x', y')$ とし、変換後の点を $(x, y)$ とします。

行列 $A$ による変換は、次のように表されます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

したがって、

$x = 4x' - 3y'$

$y = -2x' + 2y'$

これを $x'$ と $y'$ について解きます。

$x' = \frac{1}{\det(A)} \begin{vmatrix} x & -3 \\ y & 2 \end{vmatrix} = \frac{1}{8-6} (2x + 3y) = \frac{2x+3y}{2} = x + \frac{3}{2}y$

$y' = \frac{1}{\det(A)} \begin{vmatrix} 4 & x \\ -2 & y \end{vmatrix} = \frac{1}{8-6} (4y + 2x) = \frac{4y+2x}{2} = x + 2y$

ここで$\det(A) = 4\times 2 - (-3)\times (-2) = 8 - 6 = 2$

変換後の点 $(x, y)$ は直線 $x + 2y - 6 = 0$ 上にあるので、この式に $x'$ と $y'$ を代入することで変換前の直線の方程式を得ることができます。

$x' + 2y' - 6 = 0$

$(x + \frac{3}{2}y) + 2(x + 2y) - 6 = 0$

$x + \frac{3}{2}y + 2x + 4y - 6 = 0$

$3x + \frac{11}{2}y - 6 = 0$

$6x + 11y - 12 = 0$

3. 最終的な答え

変換前の直線 $L$ の方程式は $6x + 11y - 12 = 0$ です。