2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a$ が与えられている。ただし、$a$は定数である。 (1) $a=1$ のとき、 $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) $f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表し、$f(x)$ の最小値が $-1$ となるような $a$ の値を求める。 (3) $x \ge 0$ における $f(x)$ の最小値を $m$ とするとき、$m \ge -1$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a$ が与えられている。ただし、$a$は定数である。

(1) $a=1$ のとき、 $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) $f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表し、$f(x)$ の最小値が $-1$ となるような $a$ の値を求める。

(3) $x \ge 0$ における $f(x)$ の最小値を $m$ とするとき、$m \ge -1$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x + 2$ である。平方完成を行う。

$f(x) = (x-1)^2 - 1 + 2 = (x-1)^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(1, 1)$ である。

(2) $f(x) = x^2 - 2ax + 2a$ を平方完成する。

$f(x) = (x-a)^2 - a^2 + 2a$

よって、$f(x)$ の最小値は $-a^2 + 2a$ である。

$f(x)$ の最小値が $-1$ となるとき、$-a^2 + 2a = -1$ である。

$a^2 - 2a - 1 = 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

(3) $x \ge 0$ における $f(x)$ の最小値を $m$ とする。

$f(x) = (x-a)^2 - a^2 + 2a$

軸は $x=a$ である。

場合分けをする。

(i) $a \ge 0$ のとき

$m = -a^2 + 2a$

$m \ge -1$ より $-a^2 + 2a \ge -1$

$a^2 - 2a - 1 \le 0$

$1 - \sqrt{2} \le a \le 1 + \sqrt{2}$

$a \ge 0$ より $0 \le a \le 1 + \sqrt{2}$

(ii) $a < 0$ のとき

$x \ge 0$ において $f(x)$ は増加関数であるから、$x=0$ で最小値をとる。

$m = f(0) = 2a$

$m \ge -1$ より $2a \ge -1$

$a \ge -\frac{1}{2}$

$a < 0$ より $-\frac{1}{2} \le a < 0$

以上より、$-\frac{1}{2} \le a \le 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(1, 1)$

(2) $f(x)$ の最小値: $-a^2 + 2a$, $a$ の値: $1 \pm \sqrt{2}$

(3) $a$ の値の範囲: $-\frac{1}{2} \le a \le 1 + \sqrt{2}$