多項式 $P(x) = x^3 + 6x^2 + ax + 4a$ を $x+2$ で割った余りが $4$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + 6x^2 + ax + 4a$ を $x+2$ で割った余りが $4$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りは $P(-2)$ に等しい。したがって、

$P(-2) = 4$ が成り立つ。

$P(x) = x^3 + 6x^2 + ax + 4a$ に $x = -2$ を代入すると、

$P(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + a(-2) + 4a$

$P(-2) = -8 + 6(4) - 2a + 4a$

$P(-2) = -8 + 24 + 2a$

$P(-2) = 16 + 2a$

$P(-2) = 4$ であるから、

$16 + 2a = 4$

$2a = 4 - 16$

$2a = -12$

$a = -6$

3. 最終的な答え

$a = -6$