与えられた行列 $A$ に対して、$A^n$ を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。行列 $A$ は2つ与えられています。 (1) $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、$A^n$ を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。行列 $A$ は2つ与えられています。

(1) $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) について

まず、$A^2$ と $A^3$ を計算してみます。

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^3 = 0$ なので、$n \geq 3$ のとき、$A^n = 0$ です。

$A^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2) について

同様に、$A^2$ と $A^3$ を計算してみます。

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3+2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3+2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^2 = A^4$, $A^3 = A^5$.

$n$ が偶数のとき、$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$n$ が奇数のとき、$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$n=1$の時は$A$,

$n=2m$($m \geq 1$)の時 $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$,

$n=2m+1$($m \geq 1$)の時 $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

$A^n = \begin{cases} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad (n=1) \\

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad (n=2k, k \geq 1) \\

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad (n=2k+1, k \geq 1)

\end{cases}$

3. 最終的な答え

(1)

$A^n = \begin{cases}

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & (n=1) \\

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & (n=2) \\

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & (n \geq 3)

\end{cases}$

(2)

$A^n = \begin{cases} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad (n=1) \\

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad (n=2k, k \geq 1) \\

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad (n=2k+1, k \geq 1)

\end{cases}$