与えられたベクトル a と b に対して、それらの線形結合（和、差、定数倍）を成分表示で求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) $\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (5, -3)$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{a}-\vec{b}$, $-2\vec{b}$ を求める。 (2) $\vec{a} = (2, -1)$, $\vec{b} = (-3, 4)$ のとき、$2\vec{a}+3\vec{b}$, $\vec{a}-2\vec{b}$, $(2\vec{a}-4\vec{b})+(3\vec{a}+2\vec{b})$ を求める。 (3) $\vec{a} = (2, -4)$, $\vec{b} = (-1, 3)$ のとき、$\frac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b}$, $2\vec{a}+3\vec{b}$, $(3\vec{a}-2\vec{b})+(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b})$ を求める。

1. 問題の内容

与えられたベクトル a と b に対して、それらの線形結合（和、差、定数倍）を成分表示で求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。

(1) $\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (5, -3)$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{a}-\vec{b}$, $-2\vec{b}$ を求める。

(2) $\vec{a} = (2, -1)$, $\vec{b} = (-3, 4)$ のとき、$2\vec{a}+3\vec{b}$, $\vec{a}-2\vec{b}$, $(2\vec{a}-4\vec{b})+(3\vec{a}+2\vec{b})$ を求める。

(3) $\vec{a} = (2, -4)$, $\vec{b} = (-1, 3)$ のとき、$\frac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b}$, $2\vec{a}+3\vec{b}$, $(3\vec{a}-2\vec{b})+(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b})$ を求める。

2. 解き方の手順

ベクトルの和、差、定数倍は、それぞれの成分ごとに計算します。

(1)

* $\vec{a}+\vec{b} = (2+5, 1+(-3)) = (7, -2)$

* $\vec{a}-\vec{b} = (2-5, 1-(-3)) = (-3, 4)$

* $-2\vec{b} = (-2 \cdot 5, -2 \cdot (-3)) = (-10, 6)$

(2)

* $2\vec{a}+3\vec{b} = (2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3), 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4) = (4-9, -2+12) = (-5, 10)$

* $\vec{a}-2\vec{b} = (2-2 \cdot (-3), -1-2 \cdot 4) = (2+6, -1-8) = (8, -9)$

* $(2\vec{a}-4\vec{b})+(3\vec{a}+2\vec{b}) = 5\vec{a}-2\vec{b} = (5 \cdot 2 - 2 \cdot (-3), 5 \cdot (-1) - 2 \cdot 4) = (10+6, -5-8) = (16, -13)$

(3)

* $\frac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b} = (\frac{1}{2} \cdot 2 + 3 \cdot (-1), \frac{1}{2} \cdot (-4) + 3 \cdot 3) = (1-3, -2+9) = (-2, 7)$

* $2\vec{a}+3\vec{b} = (2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1), 2 \cdot (-4) + 3 \cdot 3) = (4-3, -8+9) = (1, 1)$

* $(3\vec{a}-2\vec{b})+(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}) = \frac{7}{2}\vec{a}-\vec{b} = (\frac{7}{2} \cdot 2 - (-1), \frac{7}{2} \cdot (-4) - 3) = (7+1, -14-3) = (8, -17)$

3. 最終的な答え

(1)

* $\vec{a}+\vec{b} = (7, -2)$

* $\vec{a}-\vec{b} = (-3, 4)$

* $-2\vec{b} = (-10, 6)$

(2)

* $2\vec{a}+3\vec{b} = (-5, 10)$

* $\vec{a}-2\vec{b} = (8, -9)$

* $(2\vec{a}-4\vec{b})+(3\vec{a}+2\vec{b}) = (16, -13)$

(3)

* $\frac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b} = (-2, 7)$

* $2\vec{a}+3\vec{b} = (1, 1)$

* $(3\vec{a}-2\vec{b})+(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}) = (8, -17)$