$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a + 2b + b^2 + 1$

1. 問題の内容

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a + 2b + b^2 + 1$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

(1) $a$ を求めます。

$\sqrt{3}$ の値はおよそ1.732であるので、$2 + \sqrt{3}$ はおよそ $2 + 1.732 = 3.732$ となります。

したがって、整数の部分 $a$ は 3 です。

$a = 3$

(2) $b$ を求めます。

小数部分 $b$ は、元の数から整数の部分を引いたものです。

$b = (2 + \sqrt{3}) - a = (2 + \sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$

$b = \sqrt{3} - 1$

(3) $a + 2b + b^2 + 1$ を求めます。

$a = 3$、 $b = \sqrt{3} - 1$ を代入します。

$a + 2b + b^2 + 1 = 3 + 2(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} - 1)^2 + 1$

$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 1$

$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 1$

$= 3 - 2 + 4 + 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

$= 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $b = \sqrt{3} - 1$

(3) $a + 2b + b^2 + 1 = 6$