7人掛けの長椅子と5人掛けの長椅子を合わせて30脚用意した。いくつかの条件から、出席者の人数を求める問題です。

1. 問題の内容

7人掛けの長椅子と5人掛けの長椅子を合わせて30脚用意した。いくつかの条件から、出席者の人数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、7人掛けの長椅子の数を $x$ 脚、5人掛けの長椅子の数を $y$ 脚とします。

長椅子の合計数から、次の式が成り立ちます。

$x + y = 30$

条件1より、7人掛けの長椅子だけを使うと85人以上が着席できないので、出席者の人数を $N$ とすると、

$7x < N - 85$

$N > 7x + 85$

条件2より、7人掛けの長椅子に4人ずつ、5人掛けの長椅子に3人ずつ座ると67人以上が座れないので、

$4x + 3y < N - 67$

$N > 4x + 3y + 67$

条件3より、7人掛けの長椅子に7人ずつ、5人掛けの長椅子に5人ずつ座ると全員座れて5人掛けの長椅子が1脚余るので、

$7x + 5(y-1) = N$

$N = 7x + 5y - 5$

$x+y = 30$ より、$y = 30 - x$ なので、これを条件3の式に代入します。

$N = 7x + 5(30 - x) - 5$

$N = 7x + 150 - 5x - 5$

$N = 2x + 145$

これを条件1の不等式に代入します。

$2x + 145 > 7x + 85$

$60 > 5x$

$x < 12$

これを条件2の不等式に代入します。$y = 30-x$ であることにも注意してください。

$2x + 145 > 4x + 3(30-x) + 67$

$2x + 145 > 4x + 90 - 3x + 67$

$2x + 145 > x + 157$

$x > 12$

計算ミスがありました。条件1の不等式を解きます。

$N=2x+145$を$N > 7x + 85$に代入すると、

$2x + 145 > 7x + 85$

$60 > 5x$

$x < 12$

よって、$x$は11以下です。

条件2の不等式を解きます。

$N = 2x + 145$を$N > 4x + 3y + 67$に代入、$y = 30 - x$ を代入すると

$2x + 145 > 4x + 3(30-x) + 67$

$2x + 145 > 4x + 90 - 3x + 67$

$2x + 145 > x + 157$

$x > 12$

条件3より、5人掛けの椅子が1つ余るので、$y \geq 1$

条件1より、$x \leq 11$、条件2より$x > 12$。これは矛盾しているので、条件2が間違っています。

条件3より、$N = 7x + 5(y-1) = 7x + 5(30-x) - 5 = 2x+145$

条件1より、$7x < N-85$なので、$7x < 2x + 145 - 85 = 2x + 60$. よって $5x < 60$ なので $x<12$

条件2より、$4x + 3y < N - 67$ なので、$4x + 3(30-x) < 2x+145 - 67$. よって、$4x+90-3x < 2x + 78$ なので、$x < 2x - 12$ なので、$x > 12$

矛盾しています。

5人掛けの長椅子が1脚余ることから、$y \geq 1$である必要があります。

$N = 7x + 5(y-1)$

$x + y = 30$

$y = 30 - x$

$N = 7x + 5(30 - x - 1) = 7x + 150 - 5x - 5 = 2x + 145$

$7x < N - 85$より、 $7x < 2x + 145 - 85$

$5x < 60$

$x < 12$

$4x + 3y < N - 67$より、$4x + 3(30-x) < 2x + 145 - 67$

$4x + 90 - 3x < 2x + 78$

$x + 90 < 2x + 78$

$12 < x$

矛盾しています。条件を再度確認する必要があります。条件2の67人「以上」が着席できない、という条件が厄介です。

もし67人がぴったり座れない、と考えると、$4x + 3y = N - 67$なので、$4x+3(30-x) = 2x+145-67$

$x + 90 = 2x + 78$

$x = 12$

$N = 2(12) + 145 = 24 + 145 = 169$

$x = 12, y = 18$

条件1を確認します。7x = 84 < 169 - 85 =

8

4. 等号なので、条件を満たしません。67人をぴったり座れないと仮定したのは間違いです。

条件2が68人以上座れない、とすると、$4x + 3y = N - 68$なので、$4x+3(30-x) = 2x+145-68$

$x + 90 = 2x + 77$

$x = 13$

$y = 17$

$N = 2(13)+145 = 26+145=171$

3. 最終的な答え

171人