与えられた関数を、指定された方向に平行移動させた後の関数の式を求める問題です。 (1) 2次関数 $y = 2x^2$ を $x$軸方向に $-2$, $y$軸方向に $3$ だけ平行移動 (2) 3次関数 $y = 2x^3 + 1$ を $x$軸方向に $3$, $y$軸方向に $-1$ だけ平行移動 (3) 有理関数 $y = \frac{1}{x^2}$ を $x$軸方向に $2$, $y$軸方向に $-1$ だけ平行移動 (4) 指数関数 $y = 2^x$ を $x$軸方向に $-2$, $y$軸方向に $-1$ だけ平行移動

1. 問題の内容

与えられた関数を、指定された方向に平行移動させた後の関数の式を求める問題です。

(1) 2次関数 $y = 2x^2$ を $x$軸方向に $-2$, $y$軸方向に $3$ だけ平行移動

(2) 3次関数 $y = 2x^3 + 1$ を $x$軸方向に $3$, $y$軸方向に $-1$ だけ平行移動

(3) 有理関数 $y = \frac{1}{x^2}$ を $x$軸方向に $2$, $y$軸方向に $-1$ だけ平行移動

(4) 指数関数 $y = 2^x$ を $x$軸方向に $-2$, $y$軸方向に $-1$ だけ平行移動

2. 解き方の手順

関数の平行移動は、以下のように行います。

* $x$軸方向に $a$ だけ平行移動: $x$ を $x-a$ で置き換える

* $y$軸方向に $b$ だけ平行移動: $y$ を $y-b$ で置き換える

(1) $y = 2x^2$ を $x$軸方向に $-2$, $y$軸方向に $3$ だけ平行移動する。

$x$ を $x - (-2) = x + 2$ で置き換え、$y$ を $y - 3$ で置き換えます。

$y - 3 = 2(x + 2)^2$

$y = 2(x + 2)^2 + 3$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) + 3$

$y = 2x^2 + 8x + 8 + 3$

$y = 2x^2 + 8x + 11$

(2) $y = 2x^3 + 1$ を $x$軸方向に $3$, $y$軸方向に $-1$ だけ平行移動する。

$x$ を $x - 3$ で置き換え、$y$ を $y - (-1) = y + 1$ で置き換えます。

$y + 1 = 2(x - 3)^3 + 1$

$y = 2(x - 3)^3$

$y = 2(x^3 - 9x^2 + 27x - 27)$

$y = 2x^3 - 18x^2 + 54x - 54$

(3) $y = \frac{1}{x^2}$ を $x$軸方向に $2$, $y$軸方向に $-1$ だけ平行移動する。

$x$ を $x - 2$ で置き換え、$y$ を $y - (-1) = y + 1$ で置き換えます。

$y + 1 = \frac{1}{(x - 2)^2}$

$y = \frac{1}{(x - 2)^2} - 1$

(4) $y = 2^x$ を $x$軸方向に $-2$, $y$軸方向に $-1$ だけ平行移動する。

$x$ を $x - (-2) = x + 2$ で置き換え、$y$ を $y - (-1) = y + 1$ で置き換えます。

$y + 1 = 2^{x + 2}$

$y = 2^{x + 2} - 1$

$y = 2^x \cdot 2^2 - 1$

$y = 4 \cdot 2^x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 + 8x + 11$

(2) $y = 2x^3 - 18x^2 + 54x - 54$

(3) $y = \frac{1}{(x - 2)^2} - 1$

(4) $y = 4 \cdot 2^x - 1$