実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + y^2 \le 1$ を満たしながら変化するとき、点 $(xy, x+y)$ の存在する範囲の面積を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + y^2 \le 1$ を満たしながら変化するとき、点 $(xy, x+y)$ の存在する範囲の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$xy = X$、$x + y = Y$ とおく。$x, y$ は $t$ の2次方程式 $t^2 - Yt + X = 0$ の2つの実数解である。

この2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \ge 0$ であるから、

$D = Y^2 - 4X \ge 0$

$4X \le Y^2$

$X \le \frac{Y^2}{4}$

また、$x^2 + y^2 \le 1$ より、 $(x+y)^2 - 2xy \le 1$ であり、$x+y = Y, xy = X$ なので、$Y^2 - 2X \le 1$。

よって、$2X \ge Y^2 - 1$

$X \ge \frac{Y^2 - 1}{2}$

以上より、$\frac{Y^2 - 1}{2} \le X \le \frac{Y^2}{4}$ が得られる。

ここで、$x^2 + y^2 \le 1$ を満たす $x,y$ に対して、$x+y$ の最大値と最小値を求める。

$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ とおく ($0 \le r \le 1$)。

$x+y = r(\cos\theta + \sin\theta) = r\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$ より、 $-\sqrt{2}r \le x+y \le \sqrt{2}r$。

$0 \le r \le 1$ より、 $-\sqrt{2} \le x+y \le \sqrt{2}$。

したがって、$-\sqrt{2} \le Y \le \sqrt{2}$。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (\frac{Y^2}{4} - \frac{Y^2 - 1}{2}) dY = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (\frac{Y^2}{4} - \frac{Y^2}{2} + \frac{1}{2}) dY = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-\frac{Y^2}{4} + \frac{1}{2}) dY$

$S = 2\int_{0}^{\sqrt{2}} (-\frac{Y^2}{4} + \frac{1}{2}) dY = 2[-\frac{Y^3}{12} + \frac{1}{2}Y]_0^{\sqrt{2}} = 2[-\frac{2\sqrt{2}}{12} + \frac{\sqrt{2}}{2}] = 2[-\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{3\sqrt{2}}{6}] = 2\frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$