与えられた複数の式を展開する問題です。具体的には、以下の6つの式を展開します。 (1) $(a+b+4)(a+b+1)$ (2) $(x-2y+6)(x-2y-6)$ (3) $(x+y+1)^2$ (4) $(a-b+5)^2$ (5) $(a+b-3)(a-b+3)$ (6) $(x+y+2)(x-y-2)$

1. 問題の内容

与えられた複数の式を展開する問題です。具体的には、以下の6つの式を展開します。

(1) $(a+b+4)(a+b+1)$

(2) $(x-2y+6)(x-2y-6)$

(3) $(x+y+1)^2$

(4) $(a-b+5)^2$

(5) $(a+b-3)(a-b+3)$

(6) $(x+y+2)(x-y-2)$

2. 解き方の手順

各式について、展開を行います。

(1) $(a+b+4)(a+b+1)$

$a+b = A$ とおくと、

$(A+4)(A+1) = A^2 + 5A + 4$

$A$を元に戻すと、

$(a+b)^2 + 5(a+b) + 4 = a^2 + 2ab + b^2 + 5a + 5b + 4$

(2) $(x-2y+6)(x-2y-6)$

$x-2y = B$ とおくと、

$(B+6)(B-6) = B^2 - 36$

$B$を元に戻すと、

$(x-2y)^2 - 36 = x^2 - 4xy + 4y^2 - 36$

(3) $(x+y+1)^2$

$(x+y+1)(x+y+1) = x^2 + xy + x + xy + y^2 + y + x + y + 1 = x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y$

(4) $(a-b+5)^2$

$(a-b+5)(a-b+5) = a^2 - ab + 5a - ab + b^2 - 5b + 5a - 5b + 25 = a^2 + b^2 + 25 - 2ab + 10a - 10b$

(5) $(a+b-3)(a-b+3)$

$a = A, b-3 = B$ とおくと、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

$A$と$B$を元に戻すと、

$a^2 - (b-3)^2 = a^2 - (b^2 - 6b + 9) = a^2 - b^2 + 6b - 9$

(6) $(x+y+2)(x-y-2)$

$x = A, y+2 = B$ とおくと、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

$A$と$B$を元に戻すと、

$x^2 - (y+2)^2 = x^2 - (y^2 + 4y + 4) = x^2 - y^2 - 4y - 4$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + b^2 + 2ab + 5a + 5b + 4$

(2) $x^2 + 4y^2 - 4xy - 36$

(3) $x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1$

(4) $a^2 + b^2 - 2ab + 10a - 10b + 25$

(5) $a^2 - b^2 + 6b - 9$

(6) $x^2 - y^2 - 4y - 4$