次の連立1次方程式が解を持つための $a, b$ の条件を求めます。 (1) $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

次の連立1次方程式が解を持つための $a, b$ の条件を求めます。

(1)

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$

(2)

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 拡大行列を作り、行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & 1 & | & b \end{bmatrix}$

3行目を2倍して1行目から引きます。

$\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 & | & 1-2b \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & 1 & | & b \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & | & 1-2b-a \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & 1 & | & b \end{bmatrix}$

解を持つためには、$1-2b-a=0$ である必要があります。よって、$a+2b=1$

(2) 拡大行列を作り、行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 1 & 2 & | & 5 \\ 2 & -2 & a & | & 5 \end{bmatrix}$

2行目から1行目を引きます。3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 2 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & a-2 & | & 1 \end{bmatrix}$

$a-2 \neq 0$ のとき、解を持つので、$a \neq 2$。

$a-2=0$ のとき、$0=1$となり矛盾が生じるので、解は存在しない。

したがって、$a \neq 2$。

3. 最終的な答え

(1) $a+2b=1$

(2) $a \neq 2$