$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

2. 解き方の手順

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を合成します。

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

よって

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta\right)$

$\sin(\theta+\alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha$ と比較して、

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を探します。

$-\pi < \alpha \le \pi$ の範囲でこれを満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$

3. 最終的な答え

$2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$