与えられた式 $2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2 = 2x^2 - (y)x + (-y^2 + 3y - 2)$

次に、定数項 $-y^2 + 3y - 2$ を因数分解します。

$-y^2 + 3y - 2 = -(y^2 - 3y + 2) = -(y-1)(y-2)$

与式を因数分解した結果を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形だと仮定します。

$2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2 = (2x + y + a)(x - y + b)$ の形になると考えられます。

この形を展開すると

$2x^2 - 2xy + 2bx + xy - y^2 + by + ax - ay + ab = 2x^2 - xy - y^2 + (2b+a)x + (b-a)y + ab$

となります。

これと元の式を比較すると、

$2b + a = 0$

$b - a = 3$

$ab = -2$

の３つの式が得られます。

$2b + a = 0$ より $a = -2b$。これを $b - a = 3$ に代入すると、 $b - (-2b) = 3b = 3$ より $b = 1$。

$a = -2b = -2(1) = -2$。

$ab = (1)(-2) = -2$ となり、矛盾はありません。

よって、因数分解の結果は $(2x + y - 2)(x - y + 1)$となります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 2)(x - y + 1)$