数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + \dots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + \dots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

この数列は、等差数列 $\{2n-1\}$ と等比数列 $\{3^{n-1}\}$ の積で構成されています。このような数列の和を求めるには、等比数列の公比を掛けて元の式から引く、という方法が有効です。

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + \dots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}$

次に、$S$ に公比 $3$ を掛けた $3S$ を書き出します。項をずらして書くのがポイントです。

$3S = 1\cdot 3 + 3\cdot 3^2 + 5\cdot 3^3 + \dots + (2n-3)\cdot 3^{n-1} + (2n-1)\cdot 3^n$

$S$ から $3S$ を引くと、次のようになります。

$S - 3S = (1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + \dots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}) - (1\cdot 3 + 3\cdot 3^2 + 5\cdot 3^3 + \dots + (2n-3)\cdot 3^{n-1} + (2n-1)\cdot 3^n)$

$-2S = 1 + 2\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dots + 2\cdot 3^{n-1} - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}) - (2n-1)\cdot 3^n$

ここで、括弧の中は初項 $3$、公比 $3$、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、次の公式が使えます。

$a\frac{1-r^n}{1-r}$

$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = 3\frac{1-3^{n-1}}{1-3} = 3\frac{1-3^{n-1}}{-2} = \frac{3}{2}(3^{n-1} - 1)$

これを $-2S$ の式に代入すると、

$-2S = 1 + 2\cdot \frac{3}{2}(3^{n-1} - 1) - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - 2n\cdot 3^n + 3^n$

$-2S = 2\cdot 3^n - 2 - 2n\cdot 3^n$

$-2S = (2 - 2n)3^n - 2$

$S = (n-1)3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^n + 1$