$\frac{1}{9}, \frac{1}{x}, \frac{1}{18}, \dots$という数列において、$x$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{9}, \frac{1}{x}, \frac{1}{18}, \dots$という数列において、$x$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の逆数を考えると、$9, x, 18, \dots$となります。

$9$から$18$への変化に注目すると、$9$増えています。

等差数列であると仮定すると、公差は$9$となります。

したがって、$x$は$9+9 = 18$となるはずです。

しかし、そうすると$\frac{1}{9}, \frac{1}{18}, \frac{1}{18}$となり数列が成り立たないので、等差数列ではないと判断できます。

等比数列であると仮定すると、$9$に何かをかけて$x$になり、$x$に同じものをかけて$18$になるはずです。

$9r = x$ かつ $xr = 18$　となる$r$が存在するということです。

$x = 9r$ を $xr = 18$ に代入すると、$(9r)r = 18$ となります。

$9r^2 = 18$

$r^2 = 2$

$r = \sqrt{2}$

よって、$x = 9\sqrt{2}$ となります。

このとき、数列の逆数は$9, 9\sqrt{2}, 18, \dots$となり、等比数列となります。

元の数列は$\frac{1}{9}, \frac{1}{9\sqrt{2}}, \frac{1}{18}, \dots$です。

3. 最終的な答え

$x = 9\sqrt{2}$