問題3は、与えられた写像 $f(\vec{x})$ が線形変換であるかどうかを判断し、線形変換である場合は対応する行列を求める問題です。問題4は、回転行列 $R(\theta)$ について、$R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$ を示す問題です。

1. 問題の内容

問題3は、与えられた写像 $f(\vec{x})$ が線形変換であるかどうかを判断し、線形変換である場合は対応する行列を求める問題です。問題4は、回転行列 $R(\theta)$ について、$R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

問題3：

線形変換である条件は、

1. $f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})$

2. $f(c\vec{x}) = cf(\vec{x})$

を満たすことです。

(1) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \vec{y} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

$f(\vec{x}+\vec{y}) = f\left(\begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} y+y' \\ x+x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y' \\ x' \end{pmatrix} = f(\vec{x}) + f(\vec{y})$

$f(c\vec{x}) = f\left(\begin{pmatrix} cx \\ cy \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} cy \\ cx \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = cf(\vec{x})$

線形変換である。対応する行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x+1 \\ y-1 \end{pmatrix}$

$f(\vec{0}) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \neq \vec{0}$

線形変換ではない。

(3) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}$

$f(2\vec{x}) = f\left(\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} (2x)(2y) \\ 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4xy \\ 2y \end{pmatrix}$

$2f(\vec{x}) = 2\begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2xy \\ 2y \end{pmatrix}$

$f(2\vec{x}) \neq 2f(\vec{x})$

線形変換ではない。

(4) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix}$

$f(2\vec{x}) = f\left(\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} (2x)^2 \\ 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x^2 \\ 2y \end{pmatrix}$

$2f(\vec{x}) = 2\begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x^2 \\ 2y \end{pmatrix}$

$f(2\vec{x}) \neq 2f(\vec{x})$

線形変換ではない。

問題4：

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

$R(\theta_1) = \begin{pmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix}$

$R(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}$

$R(\theta_1)R(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2 & -\cos \theta_1 \sin \theta_2 - \sin \theta_1 \cos \theta_2 \\ \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2 & -\sin \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cos \theta_2 \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理より

$\cos(\theta_1 + \theta_2) = \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2$

$\sin(\theta_1 + \theta_2) = \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2$

したがって

$R(\theta_1)R(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos(\theta_1 + \theta_2) & -\sin(\theta_1 + \theta_2) \\ \sin(\theta_1 + \theta_2) & \cos(\theta_1 + \theta_2) \end{pmatrix} = R(\theta_1 + \theta_2)$

3. 最終的な答え

問題3：

(1) 線形変換であり、対応する行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) 線形変換ではない

(3) 線形変換ではない

(4) 線形変換ではない

問題4：

$R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$ が示された。