点(2, 1)から直線 $kx + y + 1 = 0$ に下ろした垂線の長さが $\sqrt{3}$ であるとき、定数 $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

点(2, 1)から直線 $kx + y + 1 = 0$ に下ろした垂線の長さが $\sqrt{3}$ であるとき、定数 $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

点 $(x_1, y_1)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、点 $(x_1, y_1) = (2, 1)$、直線 $kx + y + 1 = 0$、そして距離 $d = \sqrt{3}$ が与えられています。

したがって、$a = k$, $b = 1$, $c = 1$ となります。

これらの値を上記の公式に代入すると、

$\sqrt{3} = \frac{|k(2) + 1(1) + 1|}{\sqrt{k^2 + 1^2}}$

$\sqrt{3} = \frac{|2k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}}$

両辺を2乗すると、

$3 = \frac{(2k + 2)^2}{k^2 + 1}$

$3(k^2 + 1) = (2k + 2)^2$

$3k^2 + 3 = 4k^2 + 8k + 4$

$0 = k^2 + 8k + 1$

この2次方程式を解くために、解の公式を使用します。

$k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$k = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$k = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2}$

$k = \frac{-8 \pm \sqrt{60}}{2}$

$k = \frac{-8 \pm 2\sqrt{15}}{2}$

$k = -4 \pm \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$k = -4 + \sqrt{15}, -4 - \sqrt{15}$