問題2から問題5までを解きます。 問題2: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}, \sin \alpha = \frac{4}{5}, \sin \beta = \frac{1}{5}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $\sin(\alpha + \beta)$ (2) $\cos 2\alpha$ 問題3: 直線 $y = \sqrt{3}x + 10$ と直線 $y = -\sqrt{3}x - 2$ のなす角 $\theta (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ を求めよ。 問題4: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。 $\sin 2\theta + \sin \theta = 0$ 問題5: 関数 $y = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ の最大値、最小値を求めよ。

1. 問題の内容

問題2から問題5までを解きます。

問題2: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}, \sin \alpha = \frac{4}{5}, \sin \beta = \frac{1}{5}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin(\alpha + \beta)$

(2) $\cos 2\alpha$

問題3: 直線 $y = \sqrt{3}x + 10$ と直線 $y = -\sqrt{3}x - 2$ のなす角 $\theta (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ を求めよ。

問題4: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

$\sin 2\theta + \sin \theta = 0$

問題5: 関数 $y = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ の最大値、最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題2:

(1) $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ より $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\sin \beta = \frac{1}{5}$ より $\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\sin(\alpha + \beta) = (\frac{4}{5})(\frac{2\sqrt{6}}{5}) + (\frac{3}{5})(\frac{1}{5}) = \frac{8\sqrt{6}}{25} + \frac{3}{25} = \frac{8\sqrt{6} + 3}{25}$

(2) $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{3}{5})^2 - (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

問題3:

$y = \sqrt{3}x + 10$ の傾きは $\sqrt{3}$ なので、この直線と $x$軸の正の方向とのなす角を $\alpha$ とすると、$\tan \alpha = \sqrt{3}$ となり $\alpha = \frac{\pi}{3}$

$y = -\sqrt{3}x - 2$ の傾きは $-\sqrt{3}$ なので、この直線と $x$軸の正の方向とのなす角を $\beta$ とすると、$\tan \beta = -\sqrt{3}$ となり $\beta = \frac{2\pi}{3}$

2直線のなす角 $\theta$ は $\theta = |\alpha - \beta| = |\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}| = |-\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3}$

ここで$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$なので、$\theta = \frac{\pi}{3}$

問題4:

$\sin 2\theta + \sin \theta = 0$

$2\sin \theta \cos \theta + \sin \theta = 0$

$\sin \theta (2\cos \theta + 1) = 0$

$\sin \theta = 0$ または $2\cos \theta + 1 = 0$

$\sin \theta = 0$ のとき、$\theta = 0, \pi$

$2\cos \theta + 1 = 0$ のとき、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となり、$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

よって、$\theta = 0, \pi, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

問題5:

$y = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2(\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) = 2(\cos \frac{\pi}{3} \sin \theta + \sin \frac{\pi}{3} \cos \theta) = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \le 1$ より、 $-2 \le 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \le 2$

最大値は $2$, 最小値は $-2$

3. 最終的な答え

問題2:

(1) $\sin(\alpha + \beta) = \frac{8\sqrt{6} + 3}{25}$

(2) $\cos 2\alpha = -\frac{7}{25}$

問題3:

$\theta = \frac{\pi}{3}$

問題4:

$\theta = 0, \pi, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

問題5:

最大値: 2

最小値: -2