ベクトル $\vec{a} = (k, -1)$ と $\vec{b} = (3, 2-k)$ が与えられているとき、以下の条件を満たす実数 $k$ の値を求めます。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (k, -1)$ と $\vec{b} = (3, 2-k)$ が与えられているとき、以下の条件を満たす実数 $k$ の値を求めます。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行である条件は、$\vec{a} = t\vec{b}$ を満たす実数 $t$ が存在することです。つまり、

$(k, -1) = t(3, 2-k)$

この式は以下の2つの式に分解できます。

$k = 3t$

$-1 = t(2-k)$

最初の式から $t = \frac{k}{3}$ となります。これを2番目の式に代入します。

$-1 = \frac{k}{3}(2-k)$

$-3 = 2k - k^2$

$k^2 - 2k - 3 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(k-3)(k+1) = 0$

よって、$k=3$ または $k=-1$ です。

$k=3$のとき、$\vec{a}=(3,-1)$と$\vec{b}=(3,-1)$なので、$\vec{a}=\vec{b}$で平行。

$k=-1$のとき、$\vec{a}=(-1,-1)$と$\vec{b}=(3,3)$なので、$\vec{a}=-\frac{1}{3}\vec{b}$で平行。

したがって、どちらも解となります。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直である条件は、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ となることです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (k)(3) + (-1)(2-k) = 0$

$3k - 2 + k = 0$

$4k = 2$

$k = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $k = 3, -1$

(2) $k = \frac{1}{2}$