$a \geq \frac{1}{2}$ かつ $x = \sqrt{2a-1}$ のとき、$\sqrt{a^2 - x^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a \geq \frac{1}{2}$ かつ $x = \sqrt{2a-1}$ のとき、$\sqrt{a^2 - x^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = \sqrt{2a - 1}$ より、$x^2 = 2a - 1$ である。

求める値は $\sqrt{a^2 - x^2}$ なので、$x^2$ に $2a-1$ を代入する。

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - (2a - 1)}$

$= \sqrt{a^2 - 2a + 1}$

$= \sqrt{(a - 1)^2}$

$= |a - 1|$

$a \geq \frac{1}{2}$ より、$a$ の値によっては $a-1$ が負になることもありうる。しかし、 $x = \sqrt{2a-1}$ という条件より、 $x$ は実数でなければならない。したがって、$2a - 1 \geq 0$、つまり $a \geq \frac{1}{2}$ である。

さらに、$x^2 = 2a - 1$より、

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - (2a-1)} = \sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$

条件 $a \geq \frac{1}{2}$ だけでは、$a-1$ の符号は決まらない。

しかし、$x = \sqrt{2a-1}$ のとき、

$x^2 = 2a-1$ であるから、

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - (2a-1)} = \sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$.

ここで，$x = \sqrt{2a-1}$ という条件から，$x^2 = 2a-1$ であるので，$a = (x^2+1)/2$ と表せる。

したがって，

$a \geq \frac{1}{2}$ より，$x^2 \geq 0$.

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{(\frac{x^2+1}{2})^2 - x^2} = \sqrt{\frac{x^4 + 2x^2 + 1}{4} - x^2} = \sqrt{\frac{x^4 - 2x^2 + 1}{4}} = \sqrt{\frac{(x^2-1)^2}{4}} = \frac{|x^2-1|}{2}$

ここで、$a \geq \frac{1}{2}$ の条件だけでは、$|a-1|$ は$a-1$ になるとは限らないことに注意する。

ただし、 問題文の条件より、$a-1 \geq -1/2$ である。

しかし、問題文の条件 $a \geq 1/2$ に加え、$x = \sqrt{2a-1}$ という条件があるため、$a \geq 1/2$ かつ $x \geq 0$ である。

$a^2 - x^2 = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$

ゆえに、$\sqrt{a^2 - x^2} = |a-1|$.

$x = \sqrt{2a-1}$ という条件があるので、$2a-1 \geq 0$, つまり $a \geq \frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$|a-1|$