(1) $\log_{10}10$, $\log_{10}5$, $\log_{10}15$ をそれぞれ求める問題。ただし、$\log_{10}5$と$\log_{10}15$は、$\log_{10}2$ と $\log_{10}3$ を用いて表す。 (2) $\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ のとき、$15^{20}$ について、桁数と最高位の数字を求める問題。

1. 問題の内容

(1) $\log_{10}10$, $\log_{10}5$, $\log_{10}15$ をそれぞれ求める問題。ただし、$\log_{10}5$と$\log_{10}15$は、$\log_{10}2$ と $\log_{10}3$ を用いて表す。

(2) $\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ のとき、$15^{20}$ について、桁数と最高位の数字を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

ア：$\log_{10}10 = 1$

イ、ウ：

$\log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - \log_{10}2$

したがって、$\log_{10}5 = -\log_{10}2 + 1$

エ、オ：

$\log_{10}15 = \log_{10}(3 \cdot 5) = \log_{10}3 + \log_{10}5 = \log_{10}3 + (1 - \log_{10}2) = -\log_{10}2 + \log_{10}3 + 1$

(2)

カキ：

$\log_{10}15^{20} = 20 \log_{10}15 = 20 (\log_{10}3 + \log_{10}5) = 20(\log_{10}3 + 1 - \log_{10}2)$

$= 20 (0.4771 + 1 - 0.3010) = 20 (1.1761) = 23.522$

したがって、$23 < \log_{10}15^{20} < 24$

クケ：

$\log_{10}15^{20}$ の整数部分は 23 なので、$15^{20}$ は 24 桁の数である。

コ：

$\log_{10}15^{20}$ の小数部分は $0.522$

$\log_{10}15^{20} - 23 = 0.522$

ここで、$\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}4 = 2\log_{10}2 = 0.6020$ であるから、

$\log_{10}3 < 0.522 < \log_{10}4$

$3 < 10^{0.522} < 4$

したがって、$3 < 15^{20} / 10^{23} < 4$

$3 \cdot 10^{23} < 15^{20} < 4 \cdot 10^{23}$

サ：

$15^{20}$ の最高位の数字は 3 である。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 1

イ: -1

ウ: 1

エ: -1

オ: 1

(2)

カキ: 23

クケ: 24

コ: 3

サ: 3