(1) 複素数 $z$ について、$|z|=1$ を満たす点の全体が表す図形と、$|z-1| = |z+1|$ を満たす点の全体が表す図形の交点の値を求める。 (2) 複素数平面上に点 O(0), A($\alpha$), B(2) がある。$\alpha$ は $\alpha^2 - 3\alpha + 3 = 0$ を満たし、$\alpha$ の虚部は正である。このとき、$\angle BOA$ の値と、$\triangle BOA$ の外接円の中心 C($\gamma$) の値を求める。 (3) 無限級数 $\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$ の和を求める。

1. 問題の内容

(1) 複素数 $z$ について、$|z|=1$ を満たす点の全体が表す図形と、$|z-1| = |z+1|$ を満たす点の全体が表す図形の交点の値を求める。

(2) 複素数平面上に点 O(0), A($\alpha$), B(2) がある。$\alpha$ は $\alpha^2 - 3\alpha + 3 = 0$ を満たし、$\alpha$ の虚部は正である。このとき、$\angle BOA$ の値と、$\triangle BOA$ の外接円の中心 C($\gamma$) の値を求める。

(3) 無限級数 $\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$ の和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$|z|=1$ は、原点を中心とする半径 1 の円を表す。

$|z-1| = |z+1|$ は、$z$ と点 1, -1 の距離が等しいことを意味する。これは、線分 -1, 1 の垂直二等分線、つまり虚軸を表す。

円 $|z|=1$ と虚軸の交点を求めるには、$z=iy$ とおき、$|iy|=1$ を解けばよい。

$|iy| = |i||y| = |y| = 1$ より、$y = \pm 1$ 。

したがって、交点は $z = \pm i$ 。

(2)

$\alpha^2 - 3\alpha + 3 = 0$ を解くと、

$\alpha = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$ 。

$\alpha$ の虚部は正であるから、$\alpha = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$ 。

$\alpha = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \sqrt{3} e^{i\pi/6}$ 。

したがって、$|\alpha| = \sqrt{3}$ 。

$\arg(\alpha) = \frac{\pi}{6}$ 。

B(2) であるから、$|OB|=2$ 。

$\angle BOA = \arg(2) - \arg(\alpha) = 0 - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$

よって$\angle BOA$の絶対値は$\frac{\pi}{6}$である。

$\triangle BOA$ の外接円の中心 $\gamma$ は、線分 OA の垂直二等分線と、線分 OB の垂直二等分線の交点である。

線分 OB の垂直二等分線は、$x=1$ である。

線分 OA の中点は $\frac{\alpha}{2} = \frac{3+i\sqrt{3}}{4}$ 。

OAの傾きは$\frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$なので、OAの垂直二等分線の傾きは$-\sqrt{3}$となる。

よってOAの垂直二等分線の式は

$y - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}(x - \frac{3}{4})$

$y - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}x + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3}$

$x=1$を代入すると、$y = 0$

$\gamma = 1+\frac{i\sqrt{3}}{4}$

(3)

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$ を利用する。

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{2n+1} \to 0$ 。

したがって、無限級数の和は

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}$ 。

3. 最終的な答え

(1) $\pm i$

(2) $\angle BOA = \frac{\pi}{6}$, $\gamma = 1$

(3) $\frac{1}{2}$