実数全体の集合を全体集合とし、集合 $A = \{x \mid -1 \leq x < 5\}$, $B = \{x \mid -3 < x \leq 4\}$ とする。$C = \overline{A} \cup B$ とするとき、$A \cap C$ および $A \cup C$ を求めよ。

1. 問題の内容

実数全体の集合を全体集合とし、集合 $A = \{x \mid -1 \leq x < 5\}$, $B = \{x \mid -3 < x \leq 4\}$ とする。$C = \overline{A} \cup B$ とするとき、$A \cap C$ および $A \cup C$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ の補集合 $\overline{A}$ を求める。全体集合は実数全体なので、$\overline{A} = \{x \mid x < -1 \text{ or } x \geq 5\}$ である。

次に、$C = \overline{A} \cup B$ を求める。これは $\overline{A}$ と $B$ の和集合であるから、$C = \{x \mid x < -1 \text{ or } x \geq 5 \text{ or } -3 < x \leq 4\}$ となる。

より簡単にすると、$C = \{x \mid x \leq 4 \text{ or } x \geq 5 \}$ である。

(1) $A \cap C$ を求める。これは $A$ と $C$ の共通部分であるから、$A \cap C = \{x \mid -1 \leq x < 5 \} \cap \{x \mid x \leq 4 \text{ or } x \geq 5 \} = \{x \mid -1 \leq x \leq 4\}$ である。

(2) $A \cup C$ を求める。これは $A$ と $C$ の和集合であるから、$A \cup C = \{x \mid -1 \leq x < 5 \} \cup \{x \mid x \leq 4 \text{ or } x \geq 5 \}$ である。

これは実数全体となる。なぜなら、$x=5$ を除いて全体集合に含まれるからである。

したがって、$A \cup C = \{x \mid x \in \mathbb{R}\}$ である。

3. 最終的な答え

$A \cap C = \{x \mid -1 \leq x \leq 4\}$

$A \cup C = \{x \mid x \in \mathbb{R}\}$ (実数全体)