$0 \le x \le 5$ の範囲において、関数 $f(x) = -x^2 + ax - a$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ の最大値を求めよ。 (2) $f(x)$ の最大値が3であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 5$ の範囲において、関数 $f(x) = -x^2 + ax - a$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ の最大値を求めよ。

(2) $f(x)$ の最大値が3であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -x^2 + ax - a = -(x^2 - ax) - a = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} - a$

$f(x) = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} - a$

軸は $x = \frac{a}{2}$ である。

最大値を求めるには、軸の位置によって場合分けが必要です。

(i) $\frac{a}{2} < 0$ つまり $a < 0$ のとき

$x = 0$ で最大値をとる。

$f(0) = -0^2 + a(0) - a = -a$

最大値は $-a$

(ii) $0 \le \frac{a}{2} \le 5$ つまり $0 \le a \le 10$ のとき

$x = \frac{a}{2}$ で最大値をとる。

$f(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{4} - a$

最大値は $\frac{a^2}{4} - a$

(iii) $\frac{a}{2} > 5$ つまり $a > 10$ のとき

$x = 5$ で最大値をとる。

$f(5) = -5^2 + 5a - a = -25 + 4a$

最大値は $4a - 25$

以上より、

$a < 0$ のとき、最大値は $-a$

$0 \le a \le 10$ のとき、最大値は $\frac{a^2}{4} - a$

$a > 10$ のとき、最大値は $4a - 25$

(2) $f(x)$ の最大値が3であるとき、$a$ の値を求めます。

(1) の結果より、場合分けして考えます。

(i) $a < 0$ のとき、最大値は $-a$ なので、 $-a = 3$ より $a = -3$

これは $a < 0$ を満たすので、$a = -3$ は解である。

(ii) $0 \le a \le 10$ のとき、最大値は $\frac{a^2}{4} - a$ なので、$\frac{a^2}{4} - a = 3$

$a^2 - 4a = 12$

$a^2 - 4a - 12 = 0$

$(a - 6)(a + 2) = 0$

$a = 6, -2$

$0 \le a \le 10$ を満たすのは、$a = 6$

(iii) $a > 10$ のとき、最大値は $4a - 25$ なので、$4a - 25 = 3$

$4a = 28$

$a = 7$

これは $a > 10$ を満たさないので、不適。

よって、$a = -3, 6$

3. 最終的な答え

(1)

$a < 0$ のとき、最大値は $-a$

$0 \le a \le 10$ のとき、最大値は $\frac{a^2}{4} - a$

$a > 10$ のとき、最大値は $4a - 25$

(2)

$a = -3, 6$