多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $9$、$x+5$ で割ると余りが $-3$ である。$P(x)$ を $x^2 + 4x - 5$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $9$、$x+5$ で割ると余りが $-3$ である。$P(x)$ を $x^2 + 4x - 5$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $x^2 + 4x - 5$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax + b$ とすると、

$$P(x) = (x^2 + 4x - 5)Q(x) + ax + b$$

と表せる。ここで、$x^2 + 4x - 5 = (x-1)(x+5)$ であるから、

$$P(x) = (x-1)(x+5)Q(x) + ax + b$$

問題文より、$P(1) = 9$、$P(-5) = -3$ である。

$x = 1$ を代入すると、

$$P(1) = (1-1)(1+5)Q(1) + a(1) + b = a + b$$

$P(1) = 9$ より、

$$a + b = 9$$

$x = -5$ を代入すると、

$$P(-5) = (-5-1)(-5+5)Q(-5) + a(-5) + b = -5a + b$$

$P(-5) = -3$ より、

$$-5a + b = -3$$

連立方程式

\begin{align*}

a + b &= 9 \\

-5a + b &= -3

\end{align*}

を解く。

上の式から下の式を引くと、

$$6a = 12$$

よって、$a = 2$。

$a + b = 9$ に代入すると、$2 + b = 9$ より、$b = 7$。

したがって、余りは $2x + 7$。

3. 最終的な答え

$2x+7$