## 問題の回答

## 問題の回答

### (10) 問題の内容

ベクトル $x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$、$a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を用いて表せ。

### 解き方の手順

$x = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3$ となるようなスカラー $c_1$, $c_2$, $c_3$ を求めます。

これは、以下の連立方程式を解くことに相当します。

$2c_1 - 4c_2 + c_3 = 4$

$c_1 - c_2 = 2$

2番目の式から、$c_1 = c_2 + 2$ が得られます。これを1番目の式に代入すると、

$2(c_2 + 2) - 4c_2 + c_3 = 4$

$2c_2 + 4 - 4c_2 + c_3 = 4$

$-2c_2 + c_3 = 0$

$c_3 = 2c_2$

ここで、$c_2$ は任意の値を取ることができます。例えば、$c_2 = 0$ とすると、$c_1 = 2$、$c_3 = 0$ となり、$x = 2a_1$。

$c_2 = 1$ とすると、$c_1 = 3$、$c_3 = 2$ となり、$x = 3a_1 + a_2 + 2a_3$。

### 最終的な答え

例えば、$x = 2a_1 + 0a_2 + 0a_3$ より、$c_1 = 2, c_2 = 0, c_3 = 0$ 。

したがって、$x = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

### (11) 問題の内容

ベクトル $x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$、$a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$a_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ を用いて表せ。

### 解き方の手順

$x = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 + c_4 a_4$ となるようなスカラー $c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$ を求めます。

これは、以下の連立方程式を解くことに相当します。

$2c_1 - 4c_2 + c_3 = 4$

$c_1 - c_2 - c_4 = 2$

2番目の式から、$c_1 = c_2 + c_4 + 2$ が得られます。これを1番目の式に代入すると、

$2(c_2 + c_4 + 2) - 4c_2 + c_3 = 4$

$2c_2 + 2c_4 + 4 - 4c_2 + c_3 = 4$

$-2c_2 + c_3 + 2c_4 = 0$

$c_3 = 2c_2 - 2c_4$

ここで、$c_2$ と $c_4$ は任意の値を取ることができます。例えば、$c_2 = 0$、$c_4 = 0$ とすると、$c_1 = 2$、$c_3 = 0$ となり、$x = 2a_1$。

$c_2 = 1$、$c_4 = 0$ とすると、$c_1 = 3$、$c_3 = 2$ となり、$x = 3a_1 + a_2 + 2a_3$。

$c_2 = 0$、$c_4 = 1$ とすると、$c_1 = 3$、$c_3 = -2$ となり、$x = 3a_1 - 2a_3 + a_4$。

### 最終的な答え

例えば、$x = 2a_1 + 0a_2 + 0a_3 + 0a_4$ より、$c_1 = 2, c_2 = 0, c_3 = 0, c_4 = 0$ 。

したがって、$x = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

### (12) 問題の内容

ベクトル $x = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ を用いて表すことはできない。なぜか？説明せよ。

### 解き方の手順

$x = c_1 a_1 + c_2 a_2$ となるようなスカラー $c_1$, $c_2$ を求めようとすると、以下の連立方程式が得られます。

$2c_1 - 4c_2 = 4$

$c_1 - 2c_2 = 4$

1番目の式を2で割ると、$c_1 - 2c_2 = 2$ となります。

したがって、$c_1 - 2c_2 = 2$ かつ $c_1 - 2c_2 = 4$ を満たす必要がありますが、これは矛盾しています。

また、$a_2 = -2a_1$ であり、$a_1$と$a_2$は平行なので、ベクトル$\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$を表すことができない。

### 最終的な答え

$a_1$ と $a_2$ は線形従属（平行）であるため、$x$ を $a_1$ と $a_2$ の線形結合で表すことはできません。連立方程式が矛盾するため解が存在しない。

### (13) 問題の内容

ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ を用いて表すことができるベクトル $x$ を求めよ。

### 解き方の手順

$x = c_1 a_1 + c_2 a_2$ となるようなスカラー $c_1$, $c_2$ が存在する場合、ベクトル $x$ は $a_1$ と $a_2$ の線形結合で表すことができます。

$a_2 = -2 a_1$ であるので、$x$ は $a_1$ のスカラー倍で表せるベクトルです。

つまり、$x = k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix}$ となる $k$ が存在する $x$ が条件を満たします。

### 最終的な答え

$x = k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (kは任意の実数)