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問題A：頂点が(1, 8)で、x軸と異なる2点A, Bで交わり、AB=4を満たす2次関数を求める。 問題B：問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもので、x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD=6を満たし、点(1, 10)を通る2次関数を求める。

代数学二次関数二次方程式平行移動グラフ解の公式
2025/6/7

1. 問題の内容

問題A：頂点が(1, 8)で、x軸と異なる2点A, Bで交わり、AB=4を満たす2次関数を求める。
問題B：問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもので、x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD=6を満たし、点(1, 10)を通る2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 問題Aについて
* AB = 4より、軸x=1から点A, Bまでの距離はそれぞれ2である。
* したがって、点A, Bのx座標はそれぞれ1-2=-1, 1+2=3となる。
* 求める2次関数は、y=a(x+1)(x−3)y = a(x+1)(x-3)と表せる。　・・・①
* ①が点(1, 8)を通るから、8=a(1+1)(1−3)8 = a(1+1)(1-3)。
* 8=a(2)(−2)8 = a(2)(-2)より、8=−4a8 = -4a。
* よって、a=−2a = -2。
* 2次関数のグラフの概形は、上に凸のグラフなので、選択肢の2となる。
(2) 問題Bについて
* 問題Aで求めた2次関数は、y=−2(x+1)(x−3)=−2(x2−2x−3)=−2x2+4x+6y = -2(x+1)(x-3) = -2(x^2-2x-3) = -2x^2 + 4x + 6である。
* 問題Bのグラフの軸をx=px=pとすると、x軸との交点のx座標は、p−3p-3、p+3p+3となる。（CD = 6より、x=px=pから両点までそれぞれ3離れている）。
* したがって、求める2次関数は、y=−2(x−(p−3))(x−(p+3))y = -2(x-(p-3))(x-(p+3))と表せる。（a=−2a=-2 は平行移動しても変わらない）
* このグラフが点(1, 10)を通るので、10=−2(1−(p−3))(1−(p+3))10 = -2(1-(p-3))(1-(p+3))
* 10=−2(4−p)(−2−p)10 = -2(4-p)(-2-p)
* −5=(4−p)(−2−p)-5 = (4-p)(-2-p)
* −5=−8−4p+2p+p2-5 = -8 -4p +2p +p^2
* p2−2p−3=0p^2 -2p -3 = 0
* (p−3)(p+1)=0(p-3)(p+1) = 0
* p=3p = 3またはp=−1p = -1
* p=3p = 3のとき、y=−2(x−(3−3))(x−(3+3))=−2x(x−6)=−2x2+12xy = -2(x-(3-3))(x-(3+3)) = -2x(x-6) = -2x^2+12x
* p=−1p = -1のとき、y=−2(x−(−1−3))(x−(−1+3))=−2(x+4)(x−2)=−2(x2+2x−8)=−2x2−4x+16y = -2(x-(-1-3))(x-(-1+3)) = -2(x+4)(x-2) = -2(x^2+2x-8) = -2x^2-4x+16

3. 最終的な答え

(1)
* (ア): 2
* (イ): 1
* (ウ): 3
* (エ): -2
* (オ): p-3
* (カ): p+3
(2)(i)
* (オ): p-3
* (カ): p+3
(2)(ii)
* y=−2x2+12xy=-2x^2+12xまたはy=−2x2−4x+16y=-2x^2-4x+16

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