$a(x+2) + b(x-3) = 3x+1$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a(x+2) + b(x-3) = 3x+1$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、$x$ について整理する。

$ax + 2a + bx - 3b = 3x + 1$

$(a+b)x + (2a-3b) = 3x + 1$

これが恒等式であるためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければならない。したがって、以下の連立方程式が成り立つ。

$a + b = 3$

$2a - 3b = 1$

1番目の式から $b = 3 - a$ となるので、これを2番目の式に代入すると、

$2a - 3(3-a) = 1$

$2a - 9 + 3a = 1$

$5a = 10$

$a = 2$

$a = 2$ を $b = 3 - a$ に代入すると、

$b = 3 - 2 = 1$

したがって、$a = 2, b = 1$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 1$