3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が $3+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が $3+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

3次方程式の係数が実数なので、$3+2i$ が解ならば、共役複素数 $3-2i$ も解である。

したがって、$x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ は $(x - (3+2i))(x - (3-2i)) = (x-3-2i)(x-3+2i) = ((x-3) - 2i)((x-3)+2i) = (x-3)^2 - (2i)^2 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$ で割り切れる。

$x^3 - 5x^2 + ax + b$ を $x^2 - 6x + 13$ で割ると

\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{x} & +1 \\

\cline{2-5}

x^2-6x+13 & x^3 & -5x^2 & +ax & +b \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & -6x^2 & +13x \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & x^2 & +(a-13)x & +b \\

\multicolumn{2}{r}{} & x^2 & -6x & +13 \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & (a-7)x & +b-13 \\

\end{array}

割り切れるためには、余りが0である必要があるため、

$a-7 = 0$ かつ $b-13 = 0$

したがって $a = 7$ かつ $b = 13$

$x^3 - 5x^2 + 7x + 13 = 0$ は $(x^2 - 6x + 13)(x+1) = 0$ と因数分解できるため、

解は $x = 3+2i, 3-2i, -1$

3. 最終的な答え

$a = 7$

$b = 13$

他の解は $3-2i$ と $-1$