3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が解 $3 + 2i$ を持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が解 $3 + 2i$ を持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

3次方程式の係数が実数であるため、複素数解を持つならば、その共役複素数も解に持つ。

したがって、$3 - 2i$ も解である。

もう一つの解を $\alpha$ とすると、解と係数の関係より、

和：$(3 + 2i) + (3 - 2i) + \alpha = 5$

積：$(3 + 2i)(3 - 2i)\alpha = -b$

２つずつの積の和：$(3 + 2i)(3 - 2i) + (3 + 2i)\alpha + (3 - 2i)\alpha = a$

まず、和の式から $\alpha$ を求める。

$6 + \alpha = 5$

$\alpha = -1$

次に、積の式から $b$ を求める。

$(3 + 2i)(3 - 2i) = 3^2 - (2i)^2 = 9 - (-4) = 13$

$13\alpha = -b$

$13(-1) = -b$

$b = 13$

最後に、２つずつの積の和の式から $a$ を求める。

$13 + (3 + 2i)(-1) + (3 - 2i)(-1) = a$

$13 - 3 - 2i - 3 + 2i = a$

$a = 7$

3. 最終的な答え

$a = 7$

$b = 13$

他の解は $3 - 2i$ と $-1$