実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$x^2 + 4y$ の最大値と最小値を求め、それぞれの時の $x, y$ の値を求める。

## (ア)の問題

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$x^2 + 4y$ の最大値と最小値を求め、それぞれの時の $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x^2 + y^2 = 1$ より、$x^2 = 1 - y^2$ であるから、$x^2 + 4y = 1 - y^2 + 4y = -y^2 + 4y + 1$ となる。

$f(y) = -y^2 + 4y + 1$ とおくと、$f(y) = -(y - 2)^2 + 5$ と変形できる。

$x^2 + y^2 = 1$ より、$-1 \leq y \leq 1$ である。

したがって、$y = 1$ のとき最大値を取り、$y = -1$ のとき最小値を取る。

$y = 1$ のとき、$x^2 + 1^2 = 1$ より、$x^2 = 0$ なので、$x = 0$ である。このとき、$x^2 + 4y = 0^2 + 4(1) = 4$。

$y = -1$ のとき、$x^2 + (-1)^2 = 1$ より、$x^2 = 0$ なので、$x = 0$ である。このとき、$x^2 + 4y = 0^2 + 4(-1) = -4$。

3. 最終的な答え

$x^2 + 4y$ は $(x, y) = (0, 1)$ のとき最大値 $4$ をとり、$(x, y) = (0, -1)$ のとき最小値 $-4$ をとる。

## (イ)の問題

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 - 2xy + 2y^2 = 8$ を満たすとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

$x + y = k$ とおく。このとき、$x = k - y$ となる。

$x^2 - 2xy + 2y^2 = 8$ に代入すると、

$(k - y)^2 - 2(k - y)y + 2y^2 = 8$

$k^2 - 2ky + y^2 - 2ky + 2y^2 + 2y^2 = 8$

$5y^2 - 4ky + k^2 - 8 = 0$

$y$ は実数なので、この2次方程式が実数解を持つ必要がある。判別式を $D$ とすると、

$D = (-4k)^2 - 4(5)(k^2 - 8) \geq 0$

$16k^2 - 20k^2 + 160 \geq 0$

$-4k^2 + 160 \geq 0$

$k^2 \leq 40$

$-\sqrt{40} \leq k \leq \sqrt{40}$

$-2\sqrt{10} \leq k \leq 2\sqrt{10}$

$k = 2\sqrt{10}$ のとき、

$5y^2 - 8\sqrt{10}y + (2\sqrt{10})^2 - 8 = 0$

$5y^2 - 8\sqrt{10}y + 40 - 8 = 0$

$5y^2 - 8\sqrt{10}y + 32 = 0$

$( \sqrt{5} y - \frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{5}})^2=0$

$(\sqrt{5} y - \frac{4 \sqrt{2} \sqrt{5} }{\sqrt{5}})^2=0$

$(\sqrt{5} y - 4\sqrt{2})^2 = 0$

$\sqrt{5} y = 4\sqrt{2}$

$y = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{10}}{5}$

$x = 2\sqrt{10} - \frac{4\sqrt{10}}{5} = \frac{6\sqrt{10}}{5}$

$k = -2\sqrt{10}$ のとき、

$5y^2 + 8\sqrt{10}y + ( -2\sqrt{10})^2 - 8 = 0$

$5y^2 + 8\sqrt{10}y + 40 - 8 = 0$

$5y^2 + 8\sqrt{10}y + 32 = 0$

$(\sqrt{5} y + \frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{5}})^2=0$

$(\sqrt{5} y + 4\sqrt{2})^2 = 0$

$\sqrt{5} y = -4\sqrt{2}$

$y = -\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = -\frac{4\sqrt{10}}{5}$

$x = -2\sqrt{10} + \frac{4\sqrt{10}}{5} = -\frac{6\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

$x + y$ の最大値は $2\sqrt{10}$、最小値は $-2\sqrt{10}$。