放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ を平行移動して放物線 $y = 2x^2 + 2x + 3$ に重ねるには、x軸方向にどれだけ、y軸方向にどれだけ平行移動すればよいか。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ を平行移動して放物線 $y = 2x^2 + 2x + 3$ に重ねるには、x軸方向にどれだけ、y軸方向にどれだけ平行移動すればよいか。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの放物線を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x - 1 = 2(x^2 - 2x) - 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1 = 2(x-1)^2 - 2 - 1 = 2(x-1)^2 - 3$

$y = 2x^2 + 2x + 3 = 2(x^2 + x) + 3 = 2(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 3 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 3 = 2(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{2}$

したがって、$y = 2x^2 - 4x - 1$ の頂点は $(1, -3)$ であり、$y = 2x^2 + 2x + 3$ の頂点は $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ です。

頂点の移動量を計算します。

x軸方向の移動量は $-\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$ です。

y軸方向の移動量は $\frac{5}{2} - (-3) = \frac{5}{2} + 3 = \frac{5}{2} + \frac{6}{2} = \frac{11}{2}$ です。

3. 最終的な答え

x軸方向に $-\frac{3}{2}$, y軸方向に $\frac{11}{2}$ だけ平行移動すればよい。