媒介変数 $t$ を用いて、$x = t + \frac{1}{t}$、$y = 2(t - \frac{1}{t})$ と表される曲線の、 $t$ を消去した方程式を求め、その概形を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = t + \frac{1}{t}$、$y = 2(t - \frac{1}{t})$ と表される曲線の、 $t$ を消去した方程式を求め、その概形を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のように書く。

$x = t + \frac{1}{t}$

$y = 2(t - \frac{1}{t})$

$t - \frac{1}{t} = \frac{y}{2}$ となるので、この式を２乗すると、

$(t - \frac{1}{t})^2 = (\frac{y}{2})^2$

$t^2 - 2 + \frac{1}{t^2} = \frac{y^2}{4}$

また、$x = t + \frac{1}{t}$を２乗すると、

$x^2 = (t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$

よって、$t^2 + \frac{1}{t^2} = x^2 - 2$

$(t - \frac{1}{t})^2 = \frac{y^2}{4}$　に代入すると、

$x^2 - 2 - 2 = \frac{y^2}{4}$

$x^2 - 4 = \frac{y^2}{4}$

$x^2 - \frac{y^2}{4} = 4$

$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$

これは双曲線を表す。

中心は原点(0,0)。

$x$軸方向に頂点を持つ。

頂点は、$(\pm 2, 0)$

漸近線は、$y = \pm \frac{16}{4}x = \pm 2x$。つまり、$y=\pm 2x$。

3. 最終的な答え

方程式： $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$

概形：中心が原点、頂点が$(\pm 2, 0)$、漸近線が$y = \pm 2x$の双曲線